İntegral ile Alan Hesabı
Yayınlanma:
a, b, m ve n gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde x-ekseni, $x = 1$, $x = -1$ ve $y = mx + n$ doğruları ile $y = ax^2 + b$ eğrisi arasında kalan bölgeler aşağıdaki gibi renklendirilmiştir. Mavi renkli bölgenin alanı sarı renkli bölgenin alanından $\frac{2}{3}$ $br^2$ fazla olduğuna göre, a kaçtır? A) $-\frac{1}{2}$ B) $-1$ C) $-\frac{3}{2}$ D) $-2$ E) $-\frac{5}{2}$
Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system showing a downward-opening parabola $y = ax^2 + b$ and a line $y = mx + n$. The region is bounded by the vertical lines $x = -1$ and $x = 1$. The region above and to the left of the line $y = mx + n$ inside the parabola is shaded light blue, while the region below the line $y = mx + n$ and bounded by the x-axis and $x=1$ is shaded yellow. The line passes through the point $(-1, 0)$ and the intersection point of the line and the parabola at $x=1$.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ece, integral ve alan ilişkisi üzerine güzel bir AYT sorusuyla beraberiz. Soruda verilen grafikleri ve alanlar arasındaki ilişkiyi kullanarak a değerini bulalım.
Kordinat düzlemine baktığımızda mavi bölgenin parabol ile doğru arasında, sarı bölgenin ise doğru ile x ekseni arasında sınırlandığını görüyoruz.
Alan Analizi
Doğrusal fonksiyonumuz ye eşittir em iks artı en formunda verilmiş. Grafik üzerinde eksi bir ve bir noktalarına dikkat edelim.
Mavi bölgenin alanına A eksi bir, sarı bölgenin alanına ise A iki diyelim. Soruda mavi alanın sarı alandan iki bölü üç birimkare fazla olduğu belirtilmiş.
Bu farkı integral yardımıyla ifade edebiliriz. İntegral sınırımız eksi birden artı bire kadar olacak.
İntegral Kurulumu
Hayır, grafiğe tekrar bakalım. Mavi bölge parabol ile doğru arasındaki kalan kısımdır. Sarı bölge ise doğru ile x ekseni arasındadır. Ancak bu iki bölge de eksi bir ile bir aralığındadır.
Aslında çok daha basit bir gözlem yapalım. Mavi bölgenin alanı, parabolün altında kalan toplam alandan sarı bölgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur mu?
Dikkat: Sarı bölge bir dik yamuktur!
Sarı bölge, ye eşittir em iks artı en doğrusu, x ekseni, x eşittir eksi bir ve x eşittir bir doğruları arasında kalan alandır.
Mavi bölge ise parabolün altında kalan toplam alandan sarı bölgenin çıkarılmasıyla elde edilir.
İşte aradığımız denklem burada. Mavi alan eksi sarı alan, integral formunda şu şekilde yazılır.
Grafikten çok kritik bir bilgi daha görüyoruz. Doğru eksi bir noktasında x eksenini kesiyor. Yani fonksiyonda eksi bir yazdığımızda sonuç sıfır olmalı.
Kritik Noktalar
Ayrıca parabol de eksi bir ve bir değerlerinde doğru ile kesişiyor gibi görünüyor, ancak buna ihtiyacımız olmayabilir. Diğer bir bilgi, parabolün y eksenini kestiği yerdeki simetrisi.
Sarı bölge bir üçgendir. Tabanı iki birim, yüksekliği ise x eşittir bir için iki en birimdir.
Fakat grafiğe bakarsak doğru orijinden geçmiyor, bu yüzden n değerini dikkatli belirlemeliyiz. Parabolün tepe noktası y ekseni üzerinde, yani çift fonksiyondur.
Çözümün devamı Solvi’de
13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
