İntegral ile Alan Hesabı
Yayınlanma:
25. a bir gerçel sayı olmak üzere dik koordinat düzleminde $y = a\sqrt{x}$ ve $y = \sqrt{x}$ fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir.
[Grafik açıklaması: $(0,0)$ noktasından başlayan iki eğri, $x=9$ dikey doğrusuyla sınırlanmıştır. $y = \sqrt{x}$ eğrisi, $y=2$ yatay doğrusuyla $x=4$ noktasında kesişmektedir. Mavi alan $A_1$, sarı alan $A_2$ olarak belirtilmiştir.]
Mavi boyalı bölgenin alanı $A_1$, sarı boyalı bölgenin alanı $A_2$ olmak üzere
$$A_1 \cdot A_2 = 96$$
olduğu duruma göre a kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate plane shows two functions: $y = a\sqrt{x}$ (upper curve) and $y = \sqrt{x}$ (lower curve). Both start at the origin (0,0). A vertical dashed line at $x=9$ bounds both curves. A horizontal dashed line at $y=2$ intersects $y = \sqrt{x}$ at $x=4$. The region $A_1$ is the cyan area between the two curves from $x=0$ to $x=9$. The region $A_2$ is the yellow area between the curve $y = \sqrt{x}$, the horizontal line $y=2$, and the vertical line $x=9$.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Melisa. Bu koordinat düzlemindeki alan sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Integral ile Alan Hesabı
Önce grafikteki fonksiyonları ve sınırları inceleyelim. İki eğri de sıfır noktasından başlıyor ve dokuzda bitiyor. Bu fonksiyonlar ve eksenler arasındaki alanları bulmak için integrali kullanacağız.
İlk önce A bir alanını hesaplayalım. Mavi boyalı bölge, üstteki a kök x eğrisi ile alttaki kök x eğrisi arasında kalan alandır.
A1 Alanını Bulalım
İntegral içindeki ifadeyi paranteze alırsak a eksi bir çarpı kök x elde ederiz.
Kök x'in integralini aldığımızda, üssü bir artırıp yeni üsse böleriz. Yani x üzeri üç bölü iki bölü üç bölü iki olur.
Sınır değerlerini yerine yazalım. Dokuzun üç bölü iki kuvveti, dokuzun karekökü olan üçün küpü, yani yirmi yedidir.
İşlemi yaparsak, yirmi yedi bölü üç dokuz eder, iki ile çarptığımızda on sekiz buluruz. Yani A bir eşittir on sekiz çarpı parantez içinde a eksi bir.
Şimdi sarı boyalı bölge olan A iki alanına bakalım. Bu bölge, kök x eğrisi ile y eşittir iki doğrusu ve x eşittir dokuz sınırı arasındadır. Dikkat edersen x eşittir dokuz için kök x'in değeri üçtür.
A2 Alanını Bulalım
A iki alanını bulmak için, kök x eğrisinin altında kalan toplam alandan, alttaki dikdörtgenin alanını çıkarmalıyız.
Y eşittir iki doğrusu ile kök x eğrisi nerede kesişir? Kök x eşittir iki ise x eşittir dörttür. Dolayısıyla integralimiz dörtten dokuza kadar olacak.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
