İkinci Dereceden Denklemler ve Trigonometri İlişkisi

Merhaba Yiğit, seninle birlikte bu güzel trigonometri sorusunu çözelim. Sorumuzda iki farklı ikinci dereceden denklem ve bu denklemlerin kökleri verilmiş. Her zaman doğru olan ifadeleri arıyoruz.

İlk olarak birinci denklemi inceleyelim. İkinci dereceden bu denklemimizin kökleri sinüs beta ve kosinüs beta olarak verilmiş.

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini hatırlayalım. Bir denklemin kökler toplamı eksi b bölü a, kökler çarpımı ise c bölü a'dır.

Şimdi birinci denklemimiz için kökler toplamını yazalım. Kökler sinüs beta ve kosinüs beta olduğu için, bu iki değerin toplamı p'ye eşit olacaktır.

Aynı şekilde kökler çarpımı da q değerine eşit olur. Yani sinüs beta ile kosinüs betanın çarpımı q'dur.

Öncelikle p değerinin alabileceği aralığı bulalım. Hatırlarsan, a sinüs x artı b kosinüs x ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri kök içinde a kare artı b kare yardımıyla buluyorduk.

Burada sinüs ve kosinüsün katsayıları bir olduğu için, a ve b yerine bir yazarsak kök içinde bir artı birden kök iki değerini elde ederiz.

Bu da bize sinüs beta artı kosinüs betanın eksi kök iki ile artı kök iki arasında olduğunu gösterir.

Sinüs beta artı kosinüs beta değeri p olduğuna göre, p'nin aralığı eksi kök iki ile artı kök iki arasındadır. Bu durumda birinci öncülümüz her zaman doğrudur.

Şimdi ikinci öncüldeki q değerini inceleyelim. q, sinüs beta ile kosinüs betanın çarpımına eşitti.

Bu ifadeyi yarım açı formülünü kullanarak daha sade hale getirelim. Payı ve paydayı iki ile çarparsak, sinüs iki betanın yarısını elde ederiz.

Herhangi bir açının sinüsü her zaman eksi bir ile bir aralığındadır. Yani sinüs iki beta da eksi bir ile bir arasındadır.