İkinci Dereceden Denklem Kök Toplamları

Merhaba Ceren, bu harika soruda bizden köklerinin beşinci kuvvetlerinin toplamını bulmamız istenen ikinci dereceden bir denklem verilmiş.

Köklerimiz x bir ve x iki olduğuna göre, ilk olarak kökler toplamı ve kökler çarpımı kurallarını hatırlayalım.

Bu denklemde a eşittir bir, b eşittir eksi iki ve c eşittir eksi beştir. Buradan kökler toplamı iki, kökler çarpımı ise eksi beş bulunur.

Şimdi x bir üssü beş artı x iki üssü beş ifadesini bulmak için çok şık bir indirgeme dizisi yöntemi kullanalım.

x kare eksi iki x eksi beş eşittir sıfır ifadesinde eksi iki x ve eksi beşi karşıya atarsak, x kare eşittir iki x artı beş elde ederiz.

Bu eşitliğin her iki tarafını x üssü n eksi iki ile çarparsak, genel terimli bir rekürans bağıntısı oluşturabiliriz.

Bu eşitliği x bir ve x iki kökleri için ayrı ayrı yazıp taraf tarafa toplarsak, S n dizisini köklerin n'inci kuvvetleri toplamı olarak tanımlayabiliriz.

Harika! Şimdi bu genel bağıntıyı kullanarak sırayla terimleri hesaplayalım. Önce başlangıç değerleri olan S sıfır ve S biri bulalım.

S bir ise köklerin birinci kuvvetlerinin toplamıdır, yani doğrudan kökler toplamına eşittir ve iki olarak bulunur.

Artık başlangıç terimlerimiz elimizde olduğuna göre, adım adım beşinci kuvvete kadar ilerleyebiliriz.

İlk olarak S iki değerini hesaplayalım. Bağıntımıza göre S iki, iki çarpı S bir artı beş çarpı S sıfır olacaktır.