Funktionsuntersuchung und Extremwertaufgabe
Veröffentlicht:
4.2 Bestimmen Sie $x_1, x_2$ und $x_3$.
Die Tangenten zweier benachbarter Wendepunkte von $K_h$ schließen mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt. (8 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 3x^5 - 160x^3 + 4000x$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$
4.3 Zeigen Sie durch eine geeignete Rechnung: $K_f$ besitzt weder Hoch- noch Tiefpunkte.
Bestimmen Sie die Bereiche, in denen $K_f$ rechtsgekrümmt ist. (8 Punkte)
$K_g$ ist das Schaubild der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{4}{3}x^2$, $x \in \mathbb{R}$.
Für $0 < u < 6$ liegen die Punkte $A(-u|g(-u))$ und $B(u|g(u))$ auf $K_g$ und die Punkte $C(u|48)$ und $D(-u|48)$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = 48$.
Die Punkte ABCD bilden ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck.
4.4 Zeichnen Sie $K_g$ und die Gerade $-6 \le x \le 6$ sowie das Rechteck ABCD für $u = 3$. (5 Punkte)
4.5 Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks ABCD. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion g von x gleich vier Drittel x quadrat und einem Rechteck, das zwischen der Parabel und der Geraden y gleich achtundvierzig liegt. In Aufgabenteil vier punkt fünf suchen wir den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks.
Aufgabe 4.5: Maximaler Flächeninhalt
Gegeben sind die Eckpunkte des Rechtecks. Die Punkte A und B liegen auf der Parabel, während C und D auf der Geraden y gleich achtundvierzig liegen.
Lassen Sie uns das Rechteck zunächst skizzieren. Wir sehen, dass es symmetrisch zur y-Achse ist. Die Breite des Rechtecks erstreckt sich von minus u bis plus u.
Skizze des Rechtecks
Die Breite b beträgt also zwei mal u.
Die Höhe h ist die Differenz der y-Werte zwischen der oberen Geraden und der unteren Parabel an der Stelle u. Das ist achtundvierzig minus g von u.
Nun stellen wir die Zielfunktion für den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von u auf. Fläche ist gleich Breite mal Höhe.
Zielfunktion aufstellen
Wir setzen unsere Ausdrücke für b und h ein.
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir sechsundneunzig u minus acht Drittel u hoch drei.
Um das Maximum zu finden, bilden wir die erste Ableitung nach u.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
9 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
