EKOK Hesaplama ve Polinomlar

Selamlar arkadaşlar. Bugün birlikte polinomların en küçük ortak katı, yani ekok kavramını içeren güzel bir soru çözeceğiz.

Sorumuzda x bir doğal sayı olarak verilmiş ve iki ifadenin ekoku yetmiş dokuz x eksi iki yüz otuz yediye eşitlenmiş. İlk adım olarak bu ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

x kare eksi dokuz x artı on sekiz ifadesini, çarpımları artı on sekiz, toplamları eksi dokuz olan iki sayı olarak düşünürsek eksi altı ve eksi üçü buluruz.

Şimdi ikinci ifademiz olan x küp eksi yirmi yediye bakalım. Bu bir küp farkı açılımıdır.

Yirmi yedi, üçün küpü olduğuna göre bu ifadeyi x eksi üç çarpı, x kare artı üç x artı dokuz şeklinde yazabiliriz.

Şimdi de eşitliğin sağ tarafındaki yetmiş dokuz x eksi iki yüz otuz yedi ifadesine odaklanalım.

İki yüz otuz yedi sayısı yetmiş dokuzun tam üç katıdır. Bu yüzden ifadeyi yetmiş dokuz parantezine alırsak yetmiş dokuz çarpı x eksi üç elde ederiz.

Bulduğumuz tüm çarpanları yerlerine yazarak ekok denklemimizi tekrar kuralım.

Bildiğiniz gibi ekok bulunurken ortak olan çarpanlardan en büyük üslü olanlar ve ortak olmayan tüm çarpanlar çarpılır.

Burada her iki tarafta da x eksi üç çarpanı ortak. Eğer x üç olsaydı sonuç sıfır eşittir sıfır olurdu fakat ekok tanımı gereği diğer çarpanlar üzerinden ilerleyelim.

Aslında burada dikkat etmemiz gereken bir durum var. En küçük ortak katın yetmiş dokuz çarpı x eksi üç olması için, ekokun içindeki diğer çarpanların yetmiş dokuzun içinde kalması gerekir.

Bu durumun tek yolu, parantez içindeki diğer ifadelerin birbirinin katı olması veya x eksi üçün yanında gelen çarpanların bir şekilde sadeleşmesidir. Ancak x bir doğal sayı.

Eğer x eksi altı çarpanı sıfıra eşit olursa, yani x eşittir altı olursa ne olur bir bakalım.