Binomial Kombinasyon Sorusu

Selam Gülistan, bu kombinasyon sorusunu Pascal özdeşliğini kullanarak adım adım çözelim.

Öncelikle soruda bize verilen denklemi yazalım. n'in sekizli kombinasyonu artı iki çarpı n'in dokuzlu kombinasyonu artı n'in onlu kombinasyonu, yirmi birin on birli kombinasyonuna eşitmiş.

Bu tür sorularda en önemli aracımız Pascal Özdeşliğidir. Bu kurala göre n'in r'li kombinasyonu ile n'in r artı birli kombinasyonunun toplamı, n artı birin r artı birli kombinasyonuna eşittir.

Şimdi denklemimizdeki orta terimi, yani iki çarpı n'in dokuzlusunu iki ayrı parça olarak düşünelim.

Denklemi gruplandıralım. İlk iki terim olan n'in sekizlisi ve dokuzlusunu bir grup, diğer ikisini bir grup yapalım.

Pascal özdeşliğini ilk paranteze uygularsak, n'in sekizlisi ve dokuzlusunun toplamı n artı birin dokuzlusu eder.

Aynı kuralı ikinci parantez için de uygulayalım. n'in dokuzlusu ve onlusunun toplamı n artı birin onlusu yapar.

Bakın, yine Pascal özdeşliğine uygun bir form elde ettik. Alt indisler ardışık dokuz ve on, üst indisler ise aynı.

Bu iki terimi topladığımızda üst indis bir artar ve n artı iki olur. Alt indis ise büyük olanı seçilir, yani on olur.