Binomial Expansion and Integration Problem

Merhaba Rojin, gel bu güzel AYT matematik sorusunu birlikte adım adım çözelim. Soruda bir binom açılımı ile integralin birleştiği bir durum var.

İlk olarak, verilen x kare artı x üzeri n ifadesinin baştan ikinci terimini genel formülümüzle yazalım.

Buradaki üsleri düzenlediğimizde, n çarpı x üzeri iki n eksi bir elde ederiz.

Şimdi bu terimin sıfırdan dörde kadar olan belirli integralini hesaplayalım.

İntegral aldığımızda, x üzeri iki n bölü iki n gelir, n'ler sadeleşir ve elimizde x üzeri iki n bölü iki kalır.

Sınırları yerine koyduğumuzda sonuç, dört üzeri iki n bölü iki olur. Bunu da iki tabanında yazarsak, iki üzeri dört n eksi bir elde ederiz.

Şimdi sorunun diğer kısmına geçelim. Açılımın katsayılar toplamını bulmak için x yerine bir yazarız.

Soruda, integralin katsayılar toplamının iki bin kırk sekiz katı olduğu söylenmiş. İki bin kırk sekiz, iki üzeri on bir demektir. Denklemi kuralım.

İki bin kırk sekiz yerine iki üzeri on bir yazıp üsleri topluyoruz.