Asal Sayıların Pozitif Tam Kuvvetleri Sorusu

Merhaba Muhammed, bu güzel TYT tarzı matematik sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda a ve b sayılarının aynı asal sayının pozitif tam sayı kuvvetleri olduğu belirtilmiş. Bu asal sayıya p diyelim.

Burada x ve y değerleri birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

Atölyede her birinin içinde a üssü b adet vida olan b üssü a adet kutu var. Toplam vida sayısını bulmak için kutu sayısı ile her kutudaki vida sayısını çarparız.

Şimdi a ve b yerine p tabanındaki ifadeleri yazarak toplam vida sayısını p cinsinden bulalım.

Üslü sayı kurallarını kullanarak bu ifadeyi basitleştirelim.

Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız.

Soruda toplam vida sayısının iki üssü otuz taneden az olduğu verilmiş.

Şimdi p asal sayısının alabileceği değerleri analiz edelim. İlk olarak en küçük farklı pozitif tam sayı üsleri olan bir ve iki değerlerini düşünelim.

Eğer p asal sayısını beş veya daha büyük seçersek ne olur, kontrol edelim.

x eşittir bir ve y eşittir iki için üs değerini hesaplarsak otuz beş buluruz.

Beş üssü otuz beş sayısı, iki üssü otuzdan çok daha büyük olduğu için beş ve daha büyük asallar için hiçbir çözüm elde edemeyiz.

Şimdi p eşittir üç durumunu inceleyelim.

x eşittir bir ve y eşittir iki için üssü hesaplayalım.

Bu durumda toplam vida sayısı üç üssü on beş olur.

Üç üssü on beş sayısı ile iki üssü otuzu karşılaştıralım. İki üssü otuz, dört üssü on beşe eşittir.

Üç üssü on beş, dört üssü on beşten küçük olduğu için bu durum geçerlidir.

Bu durumda a sayısı üç üssü bir yani üç, ya da üç üssü iki yani dokuz olabilir.