Analysis von Polynomfunktionen
Veröffentlicht:
Aufgabe 2
(30 Punkte)
2.1 Ermitteln Sie einen möglichen Funktionsterm einer Polynomfunktion $p$ vom Grad 3, deren Schaubild die x-Achse bei $x = 0$ berührt, an der Stelle $x = 6$ die x-Achse schneidet und durch den Punkt $P(3 | 9)$ verläuft. (4 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8} x^3 - \frac{3}{4} x^2, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes von $K_f$. Zeichnen Sie $K_f$ für $-2,5 \leq x \leq 6,5$. (7 Punkte)
2.3 $K_f$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer Polynomfunktion dritten Grades. Wir schauen uns die Teilaufgaben zwei punkt eins bis zwei punkt drei nacheinander an.
Aufgabe 2: Analysis einer Polynomfunktion
Beginnen wir mit Teilaufgabe zwei punkt eins. Wir suchen einen Funktionsterm p von x. Er hat den Grad drei und berührt die x-Achse bei x gleich null.
2.1 Funktionsterm ermitteln
Eigenschaften:
- Grad 3
- Berührpunkt bei $x=0$
- Schnittpunkt bei $x=6$
- Punkt $P(3|9)$
Ein Berührpunkt bei x gleich null bedeutet eine doppelte Nullstelle. Ein Schnittpunkt bei x gleich sechs ist eine einfache Nullstelle. Das führt uns zum Ansatz in der Linearfaktordarstellung.
Nun setzen wir den Punkt P ein, um den Streckfaktor a zu bestimmen. Neun ist gleich a mal drei ins quadrat mal drei minus sechs.
Drei im Quadrat ist neun, und drei minus sechs ist minus drei. Also ist neun gleich minus siebenundzwanzig mal a.
Daraus folgt, dass a gleich minus ein Drittel ist. Wir erhalten also den Term p von x.
In Teil zwei punkt zwei berechnen wir die Extrempunkte der gegebenen Funktion f. Zuerst bilden wir die erste und zweite Ableitung.
2.2 Hoch- und Tiefpunkte
Die erste Ableitung f strich ist drei achtel x quadrat minus sechs viertel x, was drei halbe x entspricht.
Und die zweite Ableitung f zwei strich ist sechs achtel x minus drei halbe.
Für die notwendige Bedingung setzen wir f strich gleich null. Wir klammern x aus.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
9 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
