Analysis von Polynom- und Exponentialfunktionen
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Aufgabe 2
(30 Punkte)
2.1 Ermitteln Sie einen möglichen Funktionsterm einer Polynomfunktion p vom Grad 3, deren Schaubild die x-Achse bei $x=0$ berührt, an der Stelle $x=6$ die x-Achse schneidet und durch den Punkt $P(3|9)$ verläuft. (4 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_f$.
2.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes von $K_f$. Zeichnen Sie $K_f$ für $-2,5 \leq x \leq 6,5$. (7 Punkte)
2.3 $K_f$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 Punkte)
Bei einem Reaktorunglück werden radioaktive Stoffe freigesetzt. Die Strahlenbelastung in Mikrosievert pro Tag ($\mu Sv / d$) wird beschrieben durch die Funktion s mit $s(t) = a \cdot e^{kt}, t \geq 0$. Dabei ist t die Zeit nach dem Unglück in Tagen.
2.4 Die nachfolgende Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Messung:
| Zeit in Tagen | 0 | 8 |
| :--- | :--- | :--- |
| Strahlenbelastung in $\mu Sv / d$ | 600 | 120 |
Bestimmen Sie a und k. (3 Punkte)
Im Folgenden gilt $s(t) = 550 \cdot e^{-0,15 \cdot t}, t \geq 0$.
2.5 Bestimmen Sie die Strahlenbelastung am 10. Tag und am 20. Tag.
Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Strahlenbelastung in diesem Zeitraum. (4 Punkte)
2.6 Als unbedenklich für die Bevölkerung gilt ein Grenzwert von $3 \mu Sv / d$.
Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen dieser Grenzwert unterschritten wird. (3 Punkte)
2.7 Berechnen Sie die gesamte Strahlenbelastung in $\mu Sv$, der die Bevölkerung innerhalb der ersten 30 Tage ausgesetzt wird. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: The image contains a table for question 2.4. The table has two rows and three columns. The first row is labeled 'Zeit in Tagen' (Time in days) with values 0 and 8. The second row is labeled 'Strahlenbelastung in $\mu Sv / d$' with values 600 and 120 corresponding to the days.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer Exponentialfunktion, die die Strahlenbelastung nach einem Reaktorunglück beschreibt. Wir sollen zuerst die Parameter a und k bestimmen.
Aufgabe 2.4: Bestimmung von $a$ und $k$
| Zeit in Tagen (t) | Strahlenbelastung $s(t)$ |
|---|---|
| 0 | 600 |
| 8 | 120 |
Zuerst nutzen wir den Wert zum Zeitpunkt null, um a zu berechnen. Wenn wir t gleich null in die Funktionsgleichung einsetzen, erhalten wir sechshundert.
Da e hoch null gleich eins ist, vereinfacht sich die Gleichung sofort zu a gleich sechshundert.
Nun setzen wir den zweiten Datenpunkt ein: nach acht Tagen beträgt die Belastung einhundertzwanzig. Mit unserem bekannten a-Wert ergibt das diese Gleichung.
Um nach k aufzulösen, dividieren wir zunächst beide Seiten durch sechshundert. Einhundertzwanzig durch sechshundert ergibt null Komma zwei.
Wir wenden den natürlichen Logarithmus an, um den Exponenten nach unten zu holen. Acht k ist also gleich dem Logarithmus von null Komma zwei.
Schließlich teilen wir durch acht. Das ergibt einen k-Wert von etwa minus null Komma zwei null eins.
Im nächsten Teil, Aufgabe zwei Punkt fünf, ist eine neue Funktionsgleichung gegeben. Wir sollen die Belastung am zehnten und zwanzigsten Tag berechnen.
Aufgabe 2.5: Belastung und mittlere Änderungsrate
Durch Einsetzen in den Taschenrechner erhalten wir am zehnten Tag etwa einhundertzweiundzwanzig Mikrosievert pro Tag.
Am zwanzigsten Tag ist die Belastung auf etwa siebenundzwanzig Mikrosievert pro Tag gesunken.
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