Analysis und Algebra Aufgaben
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1.2 Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion h mit $h(x) = 5x^7 + x^4 - 61x^3, x \in \mathbb{R}$ an. (2 Punkte)
1.3 Gegeben ist die Funktion g mit $g(x) = x^4 - 10x^2 + 9, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_g$. Geben Sie die Symmetrie von $K_g$ an. Berechnen Sie die Nullstellen von g. (6 Punkte)
1.4 Lösen Sie die Gleichung $e^x + 8 = 2e^x$. (3 Punkte)
1.5 Erläutern Sie anhand einer Skizze, ob das Integral $$\int_{-\pi}^{0,5\pi} \cos(x)dx$$ größer, kleiner oder gleich null ist. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns verschiedene Analysis-Probleme an. Wir beginnen mit Aufgabe eins punkt zwei: der Bestimmung einer Stammfunktion.
1.2 Stammfunktion bestimmen
Gegeben ist die Funktion h von x gleich fünf x hoch sieben plus x hoch vier minus einundsechzig x hoch drei.
Wir nutzen die Potenzregel für Integrale. Aus x hoch n wird eins geteilt durch n plus eins mal x hoch n plus eins.
Zusammengefasst ergibt das fünf achtel x hoch acht plus ein fünftel x hoch fünf minus einundsechzig viertel x hoch vier.
Weiter geht es mit Aufgabe eins punkt drei. Hier untersuchen wir die Symmetrie und die Nullstellen der Funktion g von x.
1.3 Symmetrie und Nullstellen
Da die Funktion für g von x nur gerade Exponenten besitzt, nämlich vier, zwei und null, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir die Funktion gleich null.
Wir verwenden die Substitution u gleich x quadrat. Damit wandeln wir die Gleichung in eine quadratische Form um.
Mit der PQ-Formel oder durch scharfes Hinsehen finden wir die Lösungen für u gleich eins und u gleich neun.
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