Analyse von Funktionsgraphen und Wertetabellen
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ sowie eine Wertetabelle von $f$, $f'$ sowie $f''$. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler.
Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ übereinstimmen.
| $x$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | $0$ | $2$ | $0$ | $0$ |
| $f'(x)$ | $0$ | $0,8$ | $3,2$ | $-7,2$ |
| $f''(x)$ | $-3$ | $-2,4$ | $0$ | $12$ |
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Bild mit zwei Hauptteilen: Links ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer Funktion $f$. Der Graph hat eine Nullstelle bei $x = -2$ (lokales Minimum), schneidet die y-Achse bei ca. $y=3$, hat ein lokales Maximum bei $x=0,5$, eine Nullstelle bei $x=2$ und ein lokales Minimum bei ca. $x=3,2$. Rechts eine Tabelle mit vier Spalten für $x$-Werte $\{-2, 0, 2, 4\}$ und vier Zeilen für $x, f(x), f'(x)$ und $f''(x)$. Die Tabellenwerte sind: Spalte $x=-2$: $f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=-3$. Spalte $x=0$: $f(x)=2, f'(x)=0,8, f''(x)=-2,4$. Spalte $x=2$: $f(x)=0, f'(x)=3,2, f''(x)=0$. Spalte $x=4$: $f(x)=0, f'(x)=-7,2, f''(x)=12$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir eine Wertetabelle für eine Funktion f, ihre Ableitung f-strich und ihre zweite Ableitung f-zwei-strich untersuchen. Laut Aufgabenstellung enthält diese Tabelle genau vier Fehler. Wir müssen begründen, welche Werte nicht mit dem Schaubild K-f übereinstimmen.
Analyse der Wertetabelle
Beginnen wir mit der ersten Zeile, den Funktionswerten f von x. Schauen wir uns den Wert bei x gleich null an. Das Schaubild zeigt den Schnittpunkt mit der y-Achse bei y gleich drei. In der Tabelle steht jedoch zwei. Das ist unser erster Fehler.
Betrachten wir nun x gleich vier. Im Graphen liegt der Schnittpunkt mit der x-Achse deutlich vor der vier, etwa bei drei komma fünf. Bei x gleich vier muss der Funktionswert also positiv sein, nicht null. Das ist der zweite Fehler.
Kommen wir zur ersten Ableitung f-strich von x, also der Steigung des Graphen. Schauen wir uns die Stelle x gleich minus zwei an.
Analyse der Ableitungen
Bei x gleich minus zwei hat der Graph einen Tiefpunkt. Dort muss die Tangente waagerecht sein, die Steigung ist also null. Der Tabellenwert null ist hier also korrekt.
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