Analyse einer Ableitungsfunktion
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2.5 Gegeben ist das Schaubild $K_{h'}$ der Ableitungsfunktion $h'$ einer Funktion $h$. Bestätigen oder widerlegen Sie begründet folgende Aussagen. (4 Punkte)
(1) $K_h$ hat an der Stelle $x = 2$ einen Hochpunkt.
(2) $K_{h'}$ ist für $1 \le x \le 2,5$ rechtsgekrümmt.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit der x-Achse von 0 bis 6 und der y-Achse von -1 bis 2. Gezeigt ist der Graph $K_{h'}$ der Ableitungsfunktion $h'$. Der Graph beginnt unterhalb der x-Achse, schneidet die x-Achse bei ca. 0.2, hat ein lokales Maximum bei ca. $x = 0.6$ mit $y \approx 1.8$, schneidet die x-Achse erneut bei $x = 2$, hat ein lokales Minimum bei ca. $x = 3.5$ mit $y \approx -0.6$ und nähert sich dann von unten der x-Achse an.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Graphen der Ableitungsfunktion h Strich von x und prüfen zwei Aussagen über die Funktion h.
Untersuchung der Ableitungsfunktion $h'$
Wichtig ist zuerst festzustellen, dass das Schaubild K h-Strich die Steigung der ursprünglichen Funktion h darstellt.
Schauen wir uns Aussage eins an. Behauptet wird, dass h an der Stelle x gleich zwei einen Hochpunkt hat.
Aussage (1)
"$K_h$ hat an der Stelle $x = 2$ einen Hochpunkt."
Ein Extrempunkt von h liegt vor, wenn die Ableitung h Strich von x gleich null ist. Das sehen wir im Graph bei x gleich zwei tatsächlich.
Für einen Hochpunkt muss die Ableitung jedoch von positiven zu negativen Werten wechseln. Schauen wir uns den Graphen genau an.
Links von zwei ist h Strich positiv, der Graph verläuft oberhalb der x-Achse. Rechts von zwei ist h Strich negativ.
Dieser Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus bestätigt, dass h an der Stelle x gleich zwei einen Hochpunkt besitzt. Die Aussage ist also wahr.
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