Analyse von Funktionsgraphen und Ableitungswerten
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ sowie eine Wertetabelle für die Funktionen $f$, $f'$ sowie $f''$. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler.
Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ übereinstimmen.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline $x$ & $-2$ & $0$ & $2$ & $4$ \\
\hline $f(x)$ & $0$ & $2$ & $0$ & $0$ \\
\hline $f'(x)$ & $0$ & $0,8$ & $3,2$ & $-7,2$ \\
\hline $f''(x)$ & $-3$ & $-2,4$ & $0$ & $12$ \\
\hline
\end{tabular}
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt links ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer Funktion vierten Grades. Die x-Achse reicht von -3 bis 4, die y-Achse von -2 bis 3. Der Graph hat eine doppelte Nullstelle (lokales Minimum) bei $x = -2$, schneidet die y-Achse bei $y = 3$, hat ein lokales Maximum bei $x \approx 0.5$, eine weitere Nullstelle bei $x = 2$, ein lokales Minimum bei $x \approx 3$ und eine Nullstelle bei $x \approx 3.7$. Rechts ist eine Tabelle mit Spalten für $x$ (-2, 0, 2, 4) und Zeilen für $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$. Die Tabellenwerte sind: $x=-2 (0, 0, -3)$; $x=0 (2, 0.8, -2.4)$; $x=2 (0, 3.2, 0)$; $x=4 (0, -7.2, 12)$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir haben den Graphen K f einer Funktion f und eine Wertetabelle mit den Ableitungen gegeben. Bekannt ist, dass die Tabelle genau vier Fehler enthält. Wir sollen begründen, welche Werte falsch sind.
Analyse der Funktion f(x)
Zuerst vergleichen wir die Funktionswerte f von x aus dem Graphen mit der Tabelle an den Stellen minus zwei, null, zwei und vier.
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 2 | 0 | 0 |
Bei x gleich minus zwei hat der Graph eine Nullstelle. Der Tabellenwert null ist also korrekt. Bei x gleich null ist y gleich drei, aber in der Tabelle steht zwei. Das ist unser erster Fehler.
1. Fehler: $f(0) = 3$ statt $2$ laut Graph.
Bei x gleich zwei schneidet der Graph die x-Achse erneut, f von zwei gleich null stimmt also. Bei x gleich vier steigt der Graph stark an, y ist positiv. Der Tabellenwert null kann also nicht stimmen. Zweiter Fehler.
2. Fehler: $f(4) > 0$ laut Graph, Tabelle sagt $0$.
Untersuchen wir nun die erste Ableitung, f strich von x, welche die Steigung des Graphen angibt.
Analyse der Steigung f'(x)
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | 0 | 0,8 | 3,2 | -7,2 |
An der Stelle x gleich minus zwei hat der Graph ein lokales Minimum, die Tangente ist waagerecht. Die Steigung null ist also korrekt.
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