Analyse einer Polynomfunktion 3. Grades
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Gegeben ist das Schaubild einer Polynomfunktion $p$ vom Grad 3.
* Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise die Steigung des Schaubildes an der Stelle $x = 1$.
* Ermitteln Sie einen geeigneten Funktionsterm zu $p$.
(6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit einer Kurve einer Polynomfunktion 3. Grades. Die x-Achse ist von -1 bis 4 markiert, die y-Achse von -4 bis 1. Die Funktion hat ein lokales Minimum bei etwa $x = 0,5$ mit $y \approx -3,5$ und ein lokales Maximum bei $x = 3$ mit $y = 0$. Die Kurve schneidet die y-Achse bei $(0, -3)$ und hat eine Nullstelle bei $x = 3$ (Berührpunkt/Extrempunkt) sowie eine weitere Nullstelle links von $x = -0.5$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir haben das Schaubild einer Polynomfunktion p vom Grad 3 gegeben. Unsere Aufgabe ist es erstens, die Steigung an der Stelle x gleich 1 näherungsweise zu bestimmen, und zweitens, einen Funktionsterm für p aufzustellen.
Analyse der Polynomfunktion
Beginnen wir mit der ersten Teilaufgabe: der Steigung bei x gleich 1. Dazu betrachten wir den Graphen an dieser Stelle.
An der Stelle x gleich 1 befindet sich der Tiefpunkt etwas weiter links, und der Graph steigt hier steil an. Wenn wir ein Steigungsdreieck an die Tangente zeichnen, sehen wir: gehen wir eine Einheit nach rechts, geht der Graph etwa drei Einheiten nach oben.
Somit lässt sich die Steigung p Strich von 1 näherungsweise als 3 angeben.
Nun zur zweiten Teilaufgabe: Ermittlung des Funktionsterms. Ein Polynom dritten Grades hat die Form a mal x hoch 3 plus b mal x quadrat plus c mal x plus d. Wir können jedoch versuchen, die Nullstellen direkt aus dem Graphen abzulesen.
Aufstellen des Funktionsterms
Schauen wir uns die Nullstellen im Bild an. Wir sehen Schnittpunkte mit der x Achse bei x1 gleich minus 0,5, bei x2 gleich 2 und bei x3 gleich 4.
Setzen wir diese in die Linearfaktorform ein. Das ergibt p von x gleich a mal x plus 0,5 mal x minus 2 mal x minus 4.
Um den Streckfaktor a zu bestimmen, benötigen wir einen weiteren Punkt. Der y Achsenabschnitt liegt bei 0 und minus 4. Das heißt, p von 0 ist gleich minus 4.
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