Analyse de Fonctions, Suites et Probabilités
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4) a-Calculer à l'aide d'une intégration par partie
$$I = \int_1^e (x-1) \ln x \, dx.$$
b-Soit $\Delta$ le domaine plan défini par : $\Delta: \{M \binom{x}{y} : 1 \le x \le e \text{ et } 0 \le y \le \ln x \}$
Déterminer en $cm^2$ l'aire $\Delta$. Donner une valeur décimale approchée $10^{-2}$ près de cette aire.
Partie B : Soit $f$ la fonction définie sur $]1; +\infty[$ par : $f(x) = \frac{1}{x-1} \ln x$
1) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en 1.
2) Dresser le tableau de variation de $f$.
3) Tracer la courbe $(C_f)$
Partie C : Etude de l'équation $f(x) = \frac{1}{2}$
1) Montrer que l'équation $f(x) = \frac{1}{2}$ admet une unique solution notée $\alpha$ tel que : $3,5 \le \alpha \le 3,6$
2) Soit $h$ la fonction définie sur $]1; +\infty[$ par : $h(x) = \ln x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$
a- Montrer que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $h(x) = x$
b- Etudier le sens de variation de $h$.
3) On pose $I = [3; 4]$
a- Montrer que $\forall x \in I, h(x) \in I$.
b- Montrer que $\forall x \in I, |h'(x)| \le \frac{5}{6}$
4) Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = h(u_n), \forall n \ge 0 \end{cases}$
a- Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \in I$.
b- Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - \alpha| \le \frac{5}{6} |u_n - \alpha|$
c- En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}, |u_n - \alpha| \le \left(\frac{5}{6}\right)^n$
d- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
e) Donner un entier naturel $p$ tel que des majorations précédentes on puisse déduire que $u_p$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. Indiquer une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ de $\alpha$.
Exercice 1
Soit $Z = \sqrt{2+\sqrt{3}} + i\sqrt{2-\sqrt{3}}$
1) Calculer $Z^2$ sous forme algébrique.
2) a- Déterminer le module et l'argument de $Z^2$
b- En déduire le module et l'argument de $Z$.
3) En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$
Exercice 2
Une population est composée de 45% d'hommes et 55% de femmes. On suppose que 4% des Hommes et 5% des femmes sont atteints de sida. On prend au hasard une personne.
a) Quelle est la probabilité pour qu'elle soit atteinte de sida ?
b) Quelle est la probabilité qu'elle soit un homme sachant qu'elle est atteinte du sida ?
c) Quelle est la probabilité qu'elle soit une femme sachant qu'elle est atteinte du sida
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Bonjour ! Nous allons résoudre l'exercice 1 sur les nombres complexes. Dans cet exercice, nous allons calculer le carré d'un nombre réel complexe, en déduire ses formes trigonométriques et trouver des valeurs exactes de cosinus et sinus de pi sur douze.
Exercice 1 : Nombres Complexes
On nous donne l'expression de Z. C'est la somme de la racine de deux plus racine de trois, et de la racine de deux moins racine de trois.
Commençons par la première question : calculer Z au carré sous forme algébrique. Rappelons l'identité remarquable (a plus b i) au carré.
Le premier terme donne deux plus racine de trois. Le dernier terme, à cause du i au carré, devient moins entre parenthèses deux moins racine de trois.
Simplifions la partie réelle. Les deux s'annulent et il reste deux fois racine de trois. Pour la partie imaginaire, sous la racine, nous avons une identité a carré moins b carré.
Comme quatre moins trois égale un, et la racine de un est un, nous obtenons le résultat final pour Z au carré.
Passons à la question deux a : déterminer le module et l'argument de Z au carré.
Module et Argument de $Z^2$
Calculons d'abord le module de Z au carré. C'est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire.
Cela nous donne la racine de douze plus quatre, soit racine de seize, ce qui est égal à quatre.
Cherchons maintenant l'argument de Z au carré, que nous noterons thêta prime. Le cosinus est égal à la partie réelle sur le module, et le sinus à la partie imaginaire sur le module.
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