a, b ve c pozitif tam sayılar için en küçük c değeri

Merhaba Esra, köklü sayılar ve tam sayılarla ilgili bu güzel TYT sorusunu birlikte çözelim.

Öncelikle bize verilen ifadeleri ve a, b, c sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması gerektiğini not edelim.

İlk ifadeyi daha sade bir hale getirelim. Karekök içindeki altı faktöriyeli, aynı kök içinde yazabiliriz.

Her iki tarafın karesini alırsak, altı faktöriyel bölü a, k kareye eşit olur. Yani altı faktöriyel bölü a bir tam karedir.

Altı faktöriyelin değerini hesaplayıp asal çarpanlarına ayıralım. Altı faktöriyel, altı çarpı beş çarpı dört çarpı üç çarpı iki çarpı birden yedi yüz yirmiye eşittir.

Yedi yüz yirmiyi asal çarpanlarına ayırdığımızda, iki üzeri dört çarpı üç kare çarpı beş elde ederiz.

Bu rasyonel ifadenin bir tam kare olması için, a'nın içindeki çarpanlar pay kısmındaki tek kuvvetli çarpanları dengelemelidir. Burada sadece beş sayısının kuvveti birdir, yani tektir.

Bu durumda a sayısı en az beş olmalıdır. Eğer a eşittir beş olursa, beşler sadeleşir ve geriye iki üzeri dört çarpı üç kare kalır ki bu da bir tam karedir.

Şimdi ikinci denkleme bakalım. Kök içinde a çarpı b, c gibi bir tam sayıya eşitmiş. Bu, a çarpı b'nin bir tam kare olduğu anlamına gelir.