حساب تكامل محدد باستخدام التكامل بالتجزئة

MathematicsIntegration by PartsHard

Published:

Question

في الشكل المقابل: إذا كانت مساحة المنطقة المظللة المحصورة بين منحنى الدالة $د(س)$ ومحور السينات في الفترة $[2, 6]$ تساوي 8 وحدات مربعة، وكانت القيم المعطاة من الرسم هي: $د(2) = 1$ ، $د(6) = 3$

فإن قيمة التكامل: $\int_{2}^{6} [2س + د'(س)]\, ds = ........$

أ) 4

ب) 8

ج) 10

د) 16

This question includes visual content: رسم بياني لدالة د(س) على مستوى إحداثي س-ص. المنطقة المظللة باللون الأخضر تقع تحت منحنى د(س) وفوق محور السينات بين س=2 وس=6. عند س=2، قيمة الدالة ص=1. عند س=6، قيمة الدالة ص=3. مساحة هذه المنطقة المظللة تساوي 8 وحدات مربعة. يوجد خطوط منقطة عمودية عند س=2 وس=6، وخطوط أفقية عند ص=1 وص=3.

Animated Video Solution

The first half plays free, the full solution is in the app.

Step by Step Written Solution

1
Step 1

مرحباً يا عبد الله. دعنا نحدد أولاً المعطيات الأساسية من السؤال والرسم البياني المقابل.

المعطيات من الرسم

$$ \int_{2}^{6} د(س) \, \text{ء}س = 8$$
$$ د(2) = 1 \quad , \quad د(6) = 3$$
2
Step 2

المطلوب هو إيجاد قيمة التكامل المحدد لـ اثنين سين زائد واحد مضروبة في مشتقة الدالة دال سين.

المطلوب

$$ I = \int_{2}^{6} (2س + 1) د'(س) \, \text{ء}س$$
3
Step 3

لحل هذا التكامل، سنستخدم طريقة التكامل بالأجزاء.

التكامل بالأجزاء

$$ \int u \, dv = u v - \int v \, du$$
4
Step 4

نفرض أن يو تساوي اثنين سين زائد واحد، وبالتالي فإن دي يو تساوي اثنين في دال سين.

$$ u = 2س + 1 \implies du = 2 \, \text{ء}س$$
5
Step 5

ونفرض أن دي في تساوي دال شرطة سين دال سين، وبتكاملها نحصل على في تساوي دال سين.

$$ dv = د'(س) \, \text{ء}س \implies v = د(س)$$
6
Step 6

بتطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء، يصبح التكامل كالتالي.

تطبيق القاعدة

$$ I = \left[ (2س + 1) د(س) \right]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} 2 د(س) \, \text{ء}س$$
7
Step 7

الآن، دعنا نخرج الثابت اثنين خارج التكامل الثاني.

8
Step 8

نعوض الآن بقيم التكامل والمساحة المعطاة، حيث أن تكامل دال سين يساوي ثمانية.

9
Step 9

واثنين ضرب ثمانية يساوي ستة عشر.

10
Step 10

الآن، دعنا نفك الحد الأول بالتعويض بحدود التكامل من ستة إلى اثنين.

حساب الحد الأول

$$ \left[ (2س + 1) د(س) \right]_{2}^{6} = (2(6) + 1) د(6) - (2(2) + 1) د(2)$$
11
Step 11

اثنين في ستة زائد واحد يعطي ثلاثة عشر، واثنين في اثنين زائد واحد يعطي خمسة.

12
Step 12

نعوض عن دال ستة بثلاثة، ودال اثنين بواحد.

13
Step 13

ثلاثة عشر ضرب ثلاثة تساوي تسعة وثلاثين، وخمسة ضرب واحد تساوي خمسة.

The rest of this solution is on Solvi

12 more steps are locked. Watch the full animated, narrated solution for free.

Snap a photo, solve any question like this.

Download on the App Store Get it on Google Play

Free to download · First solutions are on us

100K+Questions solved daily
50K+Students learning
4.8 ★App Store rating

About This Question

Subject
Mathematics
Topic
Integration by Parts
Difficulty
Hard
Question Type
Multiple Choice

Similar Questions

İntegral ve Türev İlişkisi Integration by Parts · Medium Integral ve Fonksiyon Grafiği Sorusu Integration by Parts · Hard Belirli İntegral Soru Çözümü Integration by Parts · Medium

Solve any question in seconds

Snap a photo and AI explains it step by step with voice and animation.

Download on the App Store Get it on Google Play
Solvi
The full solution is in the appFree to download · First solutions are on us
Get