Veri Grubu Medyan ve Mod Problemi
Yayınlanma:
15. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir veri grubunda veri sayısı çift ise ortada bulunan iki verinin ortalamasına bu verinin medyanı (ortanca) denir. Bir veri grubunda en çok tekrarlanan veriye bu veri grubunun modu denir. Bilyelerle doldurulan 10 adet fanusun içerisindeki bilye sayıları; a, b, c, 55, 54, 58, 55, 58, 60 ve 56'dır. Bilye sayıları ile oluşturulan veri grubunun medyanı 57 ve modu 55 olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır? A) 169 B) 170 C) 172 D) 173 E) 174
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Eylül, bu güzel istatistik sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Veri Analizi: Medyan ve Mod
İlk olarak soruda bize verilen tanımları hatırlayarak başlayalım. Küçükten büyüğe sıralanmış bir veri grubunda eleman sayısı çift ise, ortadaki iki terimin ortalamasına medyan yani ortanca denir.
Tanımlar:
* Medyan (Ortanca): Küçükten büyüğe sıralı dizideki ortadaki iki değerin aritmetik ortalamasıdır.
* Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrarlanan veridir.
Şimdi elimizdeki 10 veri noktasını inceleyelim. Bize verilen bilinen sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Veri Grubunun İncelenmesi
Toplam veri sayısı: $10$
Bilinen 7 adet veri: $54, 55, 55, 56, 58, 58, 60$
Bilinmeyen 3 adet veri: $a, b, c$
Bu veri grubunun tüm elemanlarını küçükten büyüğe sıraladığımızı varsayalım. Elemanları x bir, x iki şeklinde x on'a kadar sembolize edelim.
Toplam eleman sayımız 10, yani çift olduğu için medyan, beşinci ve altıncı elemanların ortalaması olacaktır.
Bu eşitlikten, beşinci ve altıncı terimlerin toplamının yüz ondört olması gerektiğini buluruz.
Şimdi, toplamları yüz ondört olan bu x beş ve x altı terimlerinin hangi değerleri alabileceğini analiz edelim.
Medyan Koşulunun Analizi
Birinci olasılık olarak x beş ve x altı terimlerinin her ikisinin de elli yedi olduğunu varsayalım.
* Durum 1: $x_5 = 57$ ve $x_6 = 57$
Eğer x beş elli yediye eşit olursa, dizide elli yediye eşit veya elli yediden büyük en az 6 adet eleman olması gerekir. Bunlar x beşten x on'a kadar olan elemanlardır.
Bu durumda, dizide $57$ veya daha büyük en az $6$ eleman olmalıdır.
Fakat bilinen verilerimiz arasında elli yediden büyük sadece üç adet sayı vardır: elli sekiz, elli sekiz ve altmış. Geriye kalan üç adet bilinmeyen terimin hepsini elli yediden büyük seçsek bile en fazla beş adet sayı elde edebiliriz. Dolayısıyla bu durum imkansızdır.
Bilinenlerden sadece $3$ tanesi ($58, 58, 60$) $57$'den büyüktür. $a, b, c$ değerlerinin tümü $57$'den büyük olsa bile en fazla $5$ eleman elde edilir. Dolayısıyla bu durum mümkün değildir.
İkinci olasılık olarak x altı teriminin elli dokuz veya daha büyük, x beş teriminin ise elli beş veya daha küçük olduğunu varsayalım.
Medyan Koşulunun Analizi (Devam)
* Durum 2: $x_6 \ge 59$ ve $x_5 \le 55$
Eğer x altı terimi elli dokuzdan büyük veya eşit olursa, veri grubunda elli dokuz veya daha büyük en az 5 adet eleman bulunmalıdır.
Bu durumda, dizide $59$ veya daha büyük en az $5$ eleman olmalıdır.
Ancak bilinen sayılarımız arasında elli dokuzdan büyük sadece altmış sayısı vardır. Bilinmeyen üç terimin tamamını elli dokuz veya daha büyük seçsek bile en fazla dört eleman elde edebiliriz. Dolayısıyla bu durum da imkansızdır.
Bilinenlerden sadece $1$ tanesi ($60$) $59$'dan büyüktür. $a, b, c$ değerlerinin tamamı $59$'dan büyük olsa bile en fazla $4$ eleman elde edilir. Dolayısıyla bu durum da mümkün değildir.
Geriye kalan tek ve zorunlu olasılık, x beş teriminin elli altı ve x altı teriminin elli sekiz olması durumudur.
Tek Mümkün Durum
Çözümün devamı Solvi’de
13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
