Üslü Sayılar ve Özdeşlik Problemi

Merhaba Ali, bu güzel YKS sorusunu birlikte adım adım çözelim.

İlk olarak bize verilen C sayısının terimlerini inceleyelim. Her bir parantez içi iki kare farkı biçimindedir.

İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: a kare eksi b kare, a eksi b ile a artı b'nin çarpımına eşittir.

Bu özdeşliği ardışık tam sayıların kareleri farkına uygularsak, k kare eksi k eksi birin karesi ifadesini elde ederiz.

Buradan ilk parantez bir, ikinci parantez ise iki k eksi bir olur. Yani bu fark her zaman tek bir sayıya eşittir.

Şimdi bu kuralı C sayısının her bir çarpanına uygulayalım. Örneğin iki kare eksi bir kare, iki çarpı iki eksi birden üç eder.

Aynı şekilde üç kare eksi iki kare de beş değerini verir.

En büyük terim olan iki yüz kare eksi yüz doksan dokuz kare ise, iki çarpı iki yüz eksi birden üç yüz doksan dokuz olur.

Böylece C sayısını, üçten başlayıp üç yüz doksan dokuza kadar olan ardışık tek sayıların çarpımı olarak yazabiliriz.

Soruda bize C bölü B'nin A'ya, yani bir pozitif tam sayıya eşit olduğu verilmiş. B ise beş üzeri n olarak tanımlanmış.

Bunun anlamı, n sayısının alabileceği en büyük değerin, C sayısının içindeki toplam beş çarpanı sayısına eşit olmasıdır.

Gelin şimdi C sayısının içindeki beş çarpanı sayısını bulmak için faktöriyel yöntemini kullanalım.

C sayısını, birden üç yüz doksan dokuza kadar olan tek sayıların çarpımı olarak düşünelim. Bunu faktöriyel cinsinden yazmak için payı ve paydayı çift sayılarla çarpalım.

Pay kısmı üç yüz doksan dokuz faktöriyel olur. Paydayı ise iki ortak parantezine alırsak, iki üzeri yüz doksan dokuz çarpı yüz doksan dokuz faktöriyel elde ederiz.