Untersuchung von Polynomfunktionen dritten und zweiten Grades
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Aufgabe 1 (Variante 2)
(30 Punkte)
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion $g$ mit $g(x) = x^3 + x^2 - 3x, x \in \mathbb{R}$. Begründen Sie, warum das Schaubild nicht zu $g$ gehören kann.
(5 Punkte)
1.2 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x - 1)(x + 2), x \in \mathbb{R}$.
Skizzieren Sie das Schaubild und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild im 4. Quadranten mit den Koordinatenachsen bildet. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem mit einer $x$- und $y$-Achse. Der Graph zeigt eine kubische Funktion, die die $x$-Achse an den Stellen $x = -2$, $x = 0$ und etwa $x = 1.3$ schneidet. Das Koordinatensystem hat Gitterlinien im Abstand von 1 Einheit. Beschriftungen auf der $x$-Achse reichen von -3 bis 2, auf der $y$-Achse von -1 bis 2.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Herzlich willkommen! In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion g von x gleich x hoch drei plus x quadrat minus drei x. Wir sollen ihre Nullstellen berechnen und erklären, warum der gezeigte Graph nicht zu dieser Funktion gehört.
Aufgabe 1.1
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktionsgleichung gleich null.
Wir bemerken sofort, dass jeder Term ein x enthält. Also können wir x ausklammern.
Nach dem Nullprodukt-Satz ist entweder x gleich null oder die Klammer ist null. Unsere erste Nullstelle ist also x eins gleich null.
Für die verbleibende quadratische Gleichung verwenden wir die p-q-Formel mit p gleich eins und q gleich minus drei.
Wir setzen die Werte in die Formel ein: Minus p halbe gibt minus null Komma fünf, plus minus die Wurzel aus null Komma zwei fünf minus minus drei.
Das vereinfacht sich zu minus null Komma fünf plus minus die Wurzel aus drei Komma zwei fünf.
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