Analyse von Polynomfunktionen dritten Grades
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1.2 Gegeben ist das Schaubild einer Polynomfunktion $f$ dritten Grades. Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. (6 Punkte)
a) Das Schaubild der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.
b) Das Schaubild einer neuen Funktion $f_{neu}(x) = f(x) + 1$ schneidet die x-Achse genau zweimal.
c) Das Schaubild einer Stammfunktion von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse. Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades ist dargestellt. Die Funktion kommt von oben links (hohe positive y-Werte), schneidet die y-Achse bei ca. y=2, fällt ab zu einem lokalen Minimum bei ca. x=1, y=-2, steigt dann an zu einem lokalen Maximum bei ca. x=3.5, y=2 und fällt danach steil ab ins Unendliche. Es sind Markierungen auf der y-Achse bei -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8 vorhanden.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Aufgabe. Wir haben den Graphen einer Polynomfunktion dritten Grades gegeben und sollen drei Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen.
Analyse einer Funktion 3. Grades
Schauen wir uns zuerst das Globalverhalten des Graphen an. Für sehr große X-Werte fällt der Graph ins Negative, und für sehr kleine X-Werte kommt er aus dem Positiven.
Das bedeutet, dass der Leitkoeffizient der Funktion negativ sein muss. Wir können die allgemeine Formel aufschreiben.
Betrachten wir Aussage A: Das Schaubild der ersten Ableitungsfunktion von f ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Aussage a)
Wenn wir eine Funktion dritten Grades ableiten, erhalten wir eine Funktion zweiten Grades, also eine Parabel.
Da unser Leitkoeffizient a negativ ist, ist auch der Koeffizient vor dem x quadrat, also 3a, negativ. Eine Parabel mit negativem Leitkoeffizienten ist nach unten geöffnet.
Aussage A ist also wahr.
Kommen wir zu Aussage B: Die Funktion f neu von x gleich f von x plus eins schneidet die x-Achse genau zweimal.
Aussage b)
Plus eins bedeutet, dass der gesamte Graph um eine Einheit nach oben verschoben wird. Schauen wir uns die lokalen Extrema im Bild an.
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