Untersuchung einer Exponentialfunktion
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1.5 Die Funktion k ist gegeben durch $k(x) = 2e^{-x} - 1, x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild heißt K. Geben Sie die Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K.
In welchem Quadranten schließt K mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein?
(5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion k von x gleich zwei mal e hoch minus x minus eins. Wir bestimmen die Asymptote, skizzieren den Graphen und finden heraus, in welchem Quadranten eine Fläche mit den Achsen eingeschlossen wird.
Untersuchung der Funktion $k(x)$
Zuerst schauen wir uns die Definitionsgleichung an. Die Variable x kann jede reelle Zahl annehmen.
Um die waagrechte Asymptote zu finden, betrachten wir das Verhalten der Funktion, wenn x gegen unendlich geht.
Da e hoch minus x für sehr große x-Werte gegen Null geht, nähert sich der gesamte Term dem Wert minus eins an.
Damit lautet die Gleichung der waagrechten Asymptote y gleich minus eins.
Um den Graphen K skizzieren zu können, berechnen wir markante Punkte, wie die Schnittpunkte mit den Achsen. Beginnen wir mit dem Y-Achsenabschnitt.
Achsenschnittpunkte
Wir setzen x gleich Null ein. Da e hoch Null eins ist, erhalten wir zwei mal eins minus eins, was eins ergibt.
Der Punkt Sy liegt also bei null und eins. Berechnen wir nun die Nullstelle, indem wir k von x gleich Null setzen.
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