Exponentialfunktion Analysieren: Asymptote und Transformation
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 0,5 e^{-0,5x} - 2, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \le x \le 6$.
Wie müsste $K_f$ verschoben werden, sodass das verschobene Schaubild die Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ hat? (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Gegeben ist die Exponentialfunktion f von x gleich null komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x minus zwei. Wir sollen die Asymptote bestimmen, die Funktion zeichnen und überlegen, wie man die Asymptote auf y gleich eins verschiebt.
Funktionsuntersuchung: $f(x) = 0,5e^{-0,5x} - 2$
Teil eins: Bestimmung der Asymptote. Wir betrachten das Verhalten der Funktion für sehr große x-Werte.
1. Waagerechte Asymptote
Wenn x gegen unendlich geht, geht minus null komma fünf x gegen minus unendlich. Da die e-Funktion für sehr kleine Exponenten gegen Null strebt, nähert sich der gesamte vordere Term der Null an.
Damit lautet die Gleichung der waagerechten Asymptote y gleich minus zwei.
Als nächstes zeichnen wir den Graphen K f im Intervall von minus fünf bis sechs. Erstellen wir dazu eine kurze Wertetabelle für markante Punkte.
2. Zeichnung von $K_f$
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | \approx 1,36 |
| 0 | -1,5 |
| 2 | \approx -1,82 |
| 4 | \approx -1,93 |
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