Üçüncü Dereceden Polinom ve Eşitsizlik

Selam Ecrin! Bu soruda bir polinomun işaret tablosunu analiz ederek yeni bir eşitsizliği çözeceğiz.

Öncelikle bize verilen tabloya bakalım. P x çarpı x kare eksi on altı ifadesinin kökleri eksi dört, bir ve dört olarak görülüyor.

Buradaki x kare eksi on altı çarpanını, x eksi dört çarpı x artı dört şeklinde yazabiliriz. Yani eksi dört ve artı dört kökleri buradan geliyor.

Tabloyu incelediğimizde, eksi dörtte tek katlı kök var çünkü işaret artıdan eksiye geçmiş. Oysa x artı dörtte de bir kök vardı. Bu durumda P x'in içinde x artı dört çarpanı olmamalı veya çift sayıda olmalı.

Bir noktasına bakalım. İşaret eksiden eksiye geçmiş, yani değişmemiş. Bu, birin bir çift katlı kök olduğu anlamına gelir ve P x'ten gelmelidir.

Dört noktasına baktığımızda ise işaret değişmemiş, yine eksi kalmış. Ama x eksi dört çarpanından dolayı burada bir kök vardı. İşaretin değişmemesi için buranın da çift katlı kök olması gerekir.

P x üçüncü dereceden bir polinomdur. x eşittir bir çift katlı kökse, içinde x eksi birin karesi bulunur. x eşittir dörtte işaretin değişmemesi için P x'in içinde bir tane x eksi dört çarpanı daha olmalıdır.

P x'in baş katsayısı olan anın işaretini bulalım. Tablonun en sağında işaret eksi. x kare eksi on altıdan artı gelir, o halde P x'in en sağda eksi olması için a negatif olmalıdır.

Şimdi bizden istenen eşitsizliğe geçelim. P x artı bir bölü x, büyük eşittir sıfır.

P x artı bir fonksiyonunu yazalım. P x'te x gördüğümüz her yere x artı bir yazıyoruz.

Sadeleştirdiğimizde, eksi x kare çarpı x eksi üç elde ederiz.