Üçüncü Dereceden Fonksiyonun Gerçel Kökü ve Katsayıları

MathematicsPolynomial FunctionsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

SORU-12

a ve b birer gerçel sayı olmak üzere gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.

f(x) = x^3 + a.x^2 + bx - 3

f(x) fonksiyonunun sadece bir tane gerçel kökü olduğu biliniyor.

f(1) = 1 olduğuna göre b'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

Soruda görsel içerik var: A coordinate system with the x and y axes. A green curve represents the cubic function f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 3, crossing the negative y-axis, increasing, and having a small wiggle before continuing to increase. The origin O is marked at the intersection of the axes.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Aysel, bu soruda üçüncü dereceden bir fonksiyonun katsayılarını ve kök sayısını birlikte inceleyeceğiz.

f(x) Fonksiyonu Analizi

$$f(x) = x^3 + a x^2 + b x - 3$$
2
Adım 2

İlk olarak bize verilen f bir eşittir bir bilgisini kullanalım. Denklemde x gördüğümüz her yere bir yazarak başlayalım.

$$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) - 3 = 1$$
3
Adım 3

Bu ifadeyi düzenlediğimizde, a artı b eksi iki eşittir bir, yani a artı b eşittir üç sonucuna ulaşırız.

4
Adım 4

Buradan a değerini b cinsinden üç eksi b olarak çekebiliriz. Bu, değişken sayısını bire indirmemizi sağlayacak.

5
Adım 5

Şimdi fonksiyonumuzu sadece b parametresine bağlı olarak yeniden yazalım.

$$f(x) = x^3 + (3 - b)x^2 + bx - 3$$
6
Adım 6

Soruda fonksiyonun sadece bir tane gerçel kökü olduğu belirtilmiş. Grafiğe baktığımızda fonksiyonun daima arttığını veya yerel ekstremum yapsa bile bunların ekseni kesmediğini görüyoruz.

Tek Kök Koşulu

Cubic bir fonksiyonun tek kökü olması için ya daima artan olmalı ya da yerel ekstremumları x-ekseninin aynı tarafında kalmalıdır.

7
Adım 7

Fonksiyonun artış ve azalışını incelemek için türevini alalım.

$$f'(x) = 3x^2 + 2(3 - b)x + b$$
8
Adım 8

Önce fonksiyonun daima artan olması durumuna bakalım. Bunun için türevin diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır.

$$\Delta' = [2(3 - b)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot b \le 0$$
9
Adım 9

Eşitsizliği açarsak, dört çarpı parantez içinde dokuz eksi altı b artı b kare, eksi on iki b küçük eşittir sıfır olur.

10
Adım 10

Her tarafı dörde bölüp sadeleştirdiğimizde b kare eksi dokuz b artı dokuz küçük eşittir sıfır eşitsizliğini elde ederiz.

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Polynomial Functions
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Üçüncü Dereceden Polinom Fonksiyonu Öteleme Sorusu Polynomial Functions · Zor Bestimmung einer Polynomfunktion 3. Grades Polynomial Functions · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir