Bestimmung einer Polynomfunktion 3. Grades
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1.6 Das Schaubild einer Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle $x = 2$ eine Tangente mit der Steigung 5, einen Tiefpunkt $T(1 | -1)$ und schneidet die y-Achse bei -1.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir sollen die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion dritten Grades bestimmen. Schauen wir uns zuerst die gegebenen Informationen an.
Aufgabengegebene Informationen
- Grad der Funktion: 3
- Tangente bei $x = 2$ mit Steigung 5
- Tiefpunkt bei $T(1|-1)$
- Schnittpunkt mit der y-Achse bei -1
Zuerst stellen wir die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades und ihrer ersten Ableitung auf.
Allgemeine Funktionsgleichung
Jetzt übersetzen wir die Hinweise in mathematische Bedingungen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse bei minus eins bedeutet, dass f an der Stelle null gleich minus eins ist.
Bedingungen:
Der Tiefpunkt liegt bei eins und minus eins. Das ergibt zwei Bedingungen: Die Funktion geht durch den Punkt eins minus eins, und die Ableitung an der Stelle eins muss null sein.
Schließlich wissen wir, dass die Tangente bei x gleich zwei die Steigung fünf hat. Das bedeutet, dass die erste Ableitung an der Stelle zwei gleich fünf ist.
Wir setzen d gleich minus eins in die Gleichungen ein und erhalten ein lineares Gleichungssystem für a, b und c.
Lineares Gleichungssystem (LGS)
Wir lösen das System, indem wir Gleichung eins von Gleichung zwei abziehen, um c zu eliminieren.
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