Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri

Merhaba! Kümeler ve logaritma konularının çok güzel bir harmanlaması olan bu A Y T sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak verilen A ve B kümelerini inceleyerek başlayalım.

A kümesi a, b, c ve d sayılarının iki tabanındaki logaritmalarından oluşuyor.

B kümesindeki logaritmaların tabanı ise bir bölü iki. Bu tabanı daha kolay işlem yapabilmek için iki tabanına dönüştürelim.

Biliyoruz ki, logaritma bir bölü iki tabanında x ifadesini yazarken tabaındaki bir bölü ikiyi, ikinin eksi birinci kuvveti olarak düşünebiliriz.

Kuvvetteki eksi bir başa katsayı olarak geçtiğinde, ifade eksi logaritma iki tabanında x'e dönüşür.

O halde B kümesini güncelleyebiliriz. B kümesinin bütün elemanları, aslında A kümesindeki elemanların negatif işaretlisidir.

Kümeler arasındaki bu ilişkiyi anladıktan sonra, sorudaki en önemli ipucuna geçiyoruz. A ve B kümelerinin kesişiminin eleman sayısı üç olarak verilmiş.

Kesişim kümesinde yer alan bir sayı, mecburen hem A kümesinde hem de B kümesinde bulunmalıdır.

B kümesi, A'nın elemanlarının eksililerinden oluştuğu için, eğer k sayısı kesişimdeyse, onun eksilisi olan eksi k de mutlaka kesişim kümesinde olmalıdır.

Yani kesişim kümesindeki elemanlar k ve eksi k gibi çiftler oluşturur. Fakat eleman sayısı tek, yani üç olduğuna göre, bir eleman kendi eksilisine eşit olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek sayı sıfırdır.

Böylece kesişim kümesinin eleman formunun eksi u, sıfır ve u şeklinde olduğunu anlıyoruz.

A kümesi bu üç elemanı barındırmak zorundadır. A'nın dördüncü ve dışarıda kalan elemanına da v ismini verelim.

Sırada A kümesindeki logaritmik ifadelerle belirlediğimiz bu yapıları eşleştirmek var.

Karışıklığa yer vermemek için doğrudan sırayla eşleşme yapabiliriz.

Aynı şekilde c ve d için de logaritmadan üstel forma geçişi yazalım.

Soruda bize bu dört sayının çarpımının yedi bölü beş olduğu bilgisi verilmiş.