Logaritmik Kümeler ve Denklem Çözümü

MathematicsLogarithms and SetsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

18. a, b, c ve d birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere A ve B kümeleri

$$A = \{\log_2 a, \log_2 b, \log_2 c, \log_2 d\}$$

$$B = \{\log_{1/2} a, \log_{1/2} b, \log_{1/2} c, \log_{1/2} d\}$$

biçiminde tanımlanıyor.

$$s(A \cap B) = 3$$

$$a \cdot b \cdot c \cdot d = \frac{7}{5}$$

$$a + b + c + d = \frac{38}{5}$$

olduğuna göre $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ toplamı kaçtır?

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba. Bu soruda bize logaritma ile tanımlanmış A ve B kümeleri verilmiş. Soruyu adım adım çözelim.

Kümelerin Analizi

$$A = \{\log_2 a, \; \log_2 b, \; \log_2 c, \; \log_2 d\}$$
2
Adım 2

Şimdi B kümesini inceleyelim. Logaritmanın tabanı bir bölü iki, yani iki üzeri eksi birdir. Logaritma özelliğini kullanarak bu ifadeyi sadeleştirelim.

$$\log_{1/2} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$$
3
Adım 3

Bu kurala göre, B kümesinin her bir elemanı A kümesindeki ilgili elemanın eksi işaretlisine eşittir.

$$B = \{-\log_2 a, \; -\log_2 b, \; -\log_2 c, \; -\log_2 d\}$$
4
Adım 4

Soruda A ve B kümelerinin kesişiminin üç elemanlı olduğu verilmiş.

Kesişim Kümesi Analizi

$$s(A \cap B) = 3$$
5
Adım 5

B kümesi A'nın negatif değerlerinden oluştuğu için, sıfırdan farklı bir ortak eleman bulduğumuzda, onun eksi işaretlisi de bu iki kümenin kesişiminde yer alır.

6
Adım 6

Kesişim üç elemanlı, yani tek sayıda elemana sahip. Zıt işaretli çiftlerin dışında bir eleman daha olmalı. Bu elemanın eksi işaretlisi kendisine eşit olmalıdır, yani bu sayı sıfırdır.

$$A \cap B = \{0, k, -k\}$$
7
Adım 7

Sıfırın kesişimde olması, A kümesindeki logaritma değerlerinden birinin sıfıra eşit olması demektir. Bunu a elemanı için kullanalım.

$$\log_2 a = 0 \implies a = 2^0 = 1$$
8
Adım 8

Kesişimdeki diğer elemanları k ve eksi k olarak b ve c sayıları için eşleştirelim. b sayısı iki üzeri k olurken, c sayısı iki üzeri eksi k, yani bir bölü b'ye eşit olur.

$$\log_2 b = k \implies b = 2^k$$
$$\log_2 c = -k \implies c = 2^{-k} = \frac{1}{b}$$
9
Adım 9

Geriye kalan d elemanının logaritması da farklı bir değere sayısal olarak eşittir, iki üzeri w diyebiliriz.

$$\log_2 d = w \implies d = 2^w$$
10
Adım 10

Şimdi soruda bize verilen sayıların çarpımı denklemine bakalım. Tüm sayıların çarpımı yedi bölü beş olarak verilmiş.

Eşitliklerin İncelenmesi

$$a \cdot b \cdot c \cdot d = \frac{7}{5}$$
11
Adım 11

a yerine bir, c yerine de bir bölü b yazdığımızda, denklemdeki b'ler birbirini sadeleştirir.

12
Adım 12

Buradan d değerini doğrudan yedi bölü beş olarak elde ederiz.

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Logarithms and Sets
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri Logarithms and Sets · Zor Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri Logarithms and Sets · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir