Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri

Merhaba! Bu soruda logaritma özelliklerini ve kümeler arasındaki ilişkiyi kullanarak bir kareler toplamı hesaplayacağız.

Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları arasındaki ilişkiyi fark edelim. B kümesinin elemanlarında taban bir bölü iki olarak verilmiş.

Logaritma taban değiştirme özelliğine göre, bir bölü iki tabanı iki ustu eksi bir olduğundan, bu ifadeleri eksi logaritma iki tabanında yazabiliriz.

A kümesini de hatırlayalım. A kümesi logaritma iki tabanında a, b, c ve de değerlerinden oluşuyor.

İşlemleri kolaylaştırmak için logaritma iki tabanındaki değerlere değişkenler atayalım. Bu değerlere sırasıyla x, y, z ve t diyelim.

Bu durumda A kümesi x, y, z, t elemanlarından; B kümesi ise bunların negatifleri olan eksi x, eksi y, eksi z ve eksi t elemanlarından oluşur.

Soruda A ve B kümelerinin kesişiminin üç elemanlı olduğu söylenmiş. Bu, kümelerdeki üç elemanın birbirinin negatifi olmasıyla mümkündür.

Elemanlar birbirinden farklı olduğu için, bu ancak üç elemanın bir tanesinin sıfır olması ve diğer ikisinin birbirinin ters işaretlisi olmasıyla sağlanır. Örnegin, x eşittir sıfır olsun.

Kesişimin üç elemanlı olması için, diğer iki eleman birbirinin negatifi olmalıdır. Mesela y eşittir eksi z diyebiliriz.

Bu durumda x eşittir sıfır ise A kümesi sıfır, y, eksi y ve t olur. B kümesi de sıfır, eksi y, y ve eksi t olur. Kesişim kümesi sıfır, y ve eksi y’den oluşur ve eleman sayısı üç olur.

Şimdi elimizdeki değişkenleri asıl sayı değerlerine geri döndürelim. Logaritma iki tabanında a sıfır ise, a birdir.

Diğer iki eleman y ve eksi y olduğu için, logaritma iki tabanında b ile logaritma iki tabanında cin toplamı sıfırdır. Bu da b çarpı c'nin bir olduğunu gösterir.

Soruda a carpi b carpi c carpi d eşittir yedi bölü beş verilmiş. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.