Kümelerde Kartezyen Çarpım ve Birleşim

Merhaba! Bu soruda doğal sayılar kümesinin alt kümeleri olan A, B ve C kümeleriyle ilgili verilen bilgilerden yola çıkarak birleşim kümesinin elemanları toplamını bulacağız.

İlk iki bilgimize bakalım. Dokuz virgül iki sıralı ikilisi A çarpı B kümesinin elemanıymış. Bu durum, dokuzun A kümesinde, ikinin ise B kümesinde olduğunu gösterir.

İkinci olarak, beş virgül dört ikilisi B çarpı C'nin elemanıymış. Buradan beşin B kümesinde, dördün ise C kümesinde olduğunu anlıyoruz.

Şimdi elimizdeki kesin elemanları not edelim. A'da en az dokuz, B'de en az iki ve beş, C'de ise en az dört var.

Şimdi üçüncü ve kritik bilgiyi inceleyelim. A çarpı B ile C çarpı B kümelerinin kesişiminin eleman sayısı ikiymiş. Kartezyen çarpımın dağılma özelliğini hatırlayalım.

Bu kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Yani A kesişim C'nin eleman sayısı ile B'nin eleman sayısının çarpımı iki olmalı.

B kümesinin içinde kesinlikle iki ve beş elemanları olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla B'nin eleman sayısı en az ikidir.

Çarpımın iki olması için iki durum söz konusu olabilir. Ya B'nin eleman sayısı ikidir ve kesişim bir elemanlıdır, ya da B'nin eleman sayısı birdir. Ancak B'nin en az iki elemanı olduğunu gördüğümüz için B mecburen iki elemanlıdır.

B'nin elemanları sadece iki ve beşten oluşur. A ile C'nin kesişimi ise bir elemanlıymış. Bu eleman ya dokuzdur, ya dörttür ya da her ikisinden farklı bir elemandır.