Kümeler ve Mantıksal Önermeler

Question

8. A ve B kümeleri ile ilgili 
$p: A \cup B$ kümesinin alt küme sayısı $128$'dir. 
$q: A \setminus B$ kümesinin alt küme sayısı $2$'dir. 
$r: B$ kümesinin eleman sayısı $A$ kümesinin eleman sayısından büyük değildir. 
önermeleri veriliyor. 
$(p \land q') \lor (r' \Rightarrow p')$ 
önermesinin yanlış olduğu biliniyor. 
Buna göre, $B \setminus A$ kümesinin alt küme sayısı en az kaçtır? 
A) 16 
B) 8 
C) 4 
D) 2 
E) 1

Solvi · Accepted Answer

Selam babanen, kümeler ve mantık konusunu birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim. Bize verilen bileşik önermenin yanlış, yani sıfıra denk olduğu söylenmiş. Önce bu önermeyi inceleyerek p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım. Veya bağlacı içeren bir önerme yanlışsa, her iki tarafın da yanlış olması gerekir. Sol tarafa bakalım: p ve q'nun değili sıfıra denk. Sağ tarafta ise r'nin değili ise p'nin değili sıfıra denk. İse bağlacında sonucun sıfır çıkması için 'bir ise sıfır' durumu olmalıdır. Yani r'nin değili bir, p'nin değili sıfır olmalı. Buradan p'nin bir olduğunu ve r'nin sıfır olduğunu anlarız. Şimdi p bir olduğuna göre, sol taraftaki 'p ve q'nun değili' ifadesi 'bir ve q'nun değili' olur. Bunun sıfır çıkması için q'nun değilinin sıfır, yani q'nun bir olması gerekir. Doğruluk değerlerini bulduk. Şimdi kümelerle ilgili verileri analiz edelim. P önermesi doğru: A birleşim B kümesinin alt küme sayısı yüz yirmi sekizmiş. İki üzeri yedi yüz yirmi sekiz olduğu için birleşimin eleman sayısı yedidir. Q önermesi de doğru: A fark B kümesinin alt küme sayısı ikiymiş. İki üzeri bir iki olduğu için A fark B'nin eleman sayısı birdir.

Kümeler ve Mantıksal Önermeler

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm