Induktion in einer fallenden Leiterschleife
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3.2 Der an der Stelle A unterbrochene rechteckige Metallrahmen wird in der skizzierten Position ($x = 0$) aus der Ruhe heraus losgelassen und fällt anschließend, reibungsfrei geführt durch zwei Schienen, durch das skizzierte homogene Magnetfeld der Flussdichte $B = 1 \frac{Vs}{m^2}$.
3.2.1 Skizzieren Sie in einem $U_{ind}(x)$-Diagramm qualitativ die an der Stelle A induzierte Spannung während der Bewegung des Rahmens durch das Magnetfeld.
Begründen Sie Ihr Diagramm in einem kurzen Text mithilfe geeigneter Gleichungen.
3.2.2 Berechnen Sie die maximale Spannung, welche an der Stelle A während des Falls induziert wird.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Diagramm zeigt einen rechteckigen Metallrahmen der Breite $0,5\text{ m}$ und der Höhe $1\text{ m}$, der an der oberen linken Ecke an Stelle 'A' unterbrochen ist. Der Rahmen wird an zwei Schienen geführt. Ein grauer schattierter Bereich markiert ein homogenes Magnetfeld $B$. Eine vertikale x-Achse ist daneben gezeichnet, die nach unten zeigt und Skalenmarkierungen von 0 bis 3 m hat. Die Oberkante des Rahmens befindet sich bei $x = 0$ in der Startposition.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir den Verlauf der induzierten Spannung beim Fall eines Metallrahmens analysieren und deren Maximalwert berechnen.
3.2.1 Analyse der Fallbewegung
Ein ganz wichtiges Detail steht gleich zu Beginn: Der Rahmen ist an der Stelle A unterbrochen.
Das bedeutet, dass auch bei einer induzierten Spannung kein Strom fließen kann.
Da kein Strom fließt, wirkt nach der Lenzschen Regel auch keine Lorentzkraft, die den Fall bremsen würde. Der Rahmen befindet sich also im ungestörten, freien Fall.
Um das Diagramm zeichnen zu können, schauen wir uns den magnetischen Fluss in drei Phasen an. Wir definieren dabei x als die Position der unteren Rahmenkante.
Phasen der Induktion
In der Eintrittsphase, von x=0 bis 1, nimmt die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche linear mit x zu.
Die induzierte Spannung ist die negative zeitliche Ableitung des Flusses. Mit der Kettenregel liefert das einen sich stetig vergrößernden negativen Wert.
In Phase zwei befindet sich der ein Meter hohe Rahmen vollständig im Magnetfeld.
Da sich der Fluss jetzt nicht ändert, bleibt die induzierte Spannung bei exakt null Volt.
In der Austrittsphase zieht der Rahmen sich aus dem Feld zurück. Die innere Fläche sinkt, bis die Unterkante x=3 erreicht.
Die abnehmende Fläche dreht das Vorzeichen der Ableitung um. Der Betrag der Spannung nimmt aufgrund der immer höheren Fallgeschwindigkeit rasant weiter zu.
Lassen Sie uns diese theoretischen Überlegungen nun in das geforderte Diagramm übertragen.
Qualitatives $U_{\text{ind}}(x)$-Diagramm
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