İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sorusu

Merhaba Ceyda, bu harika ikinci dereceden denklem ve eşitsizlik sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Denklemin kökleri birer tam sayı olarak verilmiş. Bu köklere x bir ve x iki diyelim ve işlem kolaylığı için x bir, x ikiden küçük olsun.

Eşitsizliğimiz x kare artı m x artı n küçüktür sıfır. Baş katsayısı bir, yani pozitif olduğu için, bu ifadenin sıfırdan küçük olduğu yer, iki kökün arasındaki bölgedir.

Soru bize bu aralıkta sadece 4 tane tam sayı olduğunu söylüyor. Bunu bir sayı doğrusu üzerinde görselleştirelim.

İki tam sayı arasında bulunan tam sayıların adedini bulmak için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarıp bir eksiltiriz. Yani, x iki eksi x bir eksi bir, dörde eşit olmalı.

Buradan eksi biri karşıya atıp x ikiyi yalnız bırakırsak x iki eşittir x bir artı beş elde ederiz. Bu cebimize koyacağımız ilk önemli bilgi.

Şimdi kök katsayı ilişkilerini, yani Vieta formüllerini hatırlayalım. Kökler toplamı eksi m'dir. Kökler çarpımı ise n'dir.

Soruda bize m bölü n eşittir bir bölü altı oranı verilmişti.

İçler dışlar çarpımı yaparsak n eşittir altı m olduğunu görebiliriz.

Şimdi n ve m yerine bulduğumuz eşitlikleri yazalım. n yerine x bir çarpı x iki, m yerine ise eksi parantezinde x bir artı x iki yazıyoruz.

Sağ tarafı düzenlersek eksi altı parantezinde x bir artı x iki olur.

Hatırlarsan az önce x ikinin, x bir artı beşe eşit olduğunu bulmuştuk. Bunu denklemimizde yerine koyarak tek bilinmeyene düşürelim.

Parantezi dağıttığımızda sol taraf x bir kare artı beş x bir, sağ taraf ise eksi altı parantezinde iki x bir artı beş olur.