Exercice sur les probabilités et la loi exponentielle
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Exercice 2 (5 points)
Une entreprise fabrique des cartes électroniques. Sa production est répartie entre deux ateliers de fabrication nommés A et B.
L'atelier A assure 40% de la production totale.
2% des cartes issues de l'atelier A sont défectueuses.
5% des cartes issues de l'atelier B sont défectueuses.
On prélève au hasard une carte de la production finale et on considère les évènements suivants :
A « La carte prélevée provient de l'atelier A »
D « La carte prélevée est défectueuse »
1)a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
b) Calculer la probabilité que la carte prélevée soit défectueuse et qu'elle provienne de l'atelier A.
c) Montrer que P(D) = 0,038.
d) La carte prélevée est non défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle soit produite par l'atelier A ?
2) Un lot contient dix cartes de la production finale. Calculer la probabilité que ce lot contient au plus une carte défectueuse.
3) La durée de vie X (en années) d'une carte électronique non défectueuse suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$.
a) Calculer la probabilité qu'une carte non défectueuse fonctionne sans tomber en panne durant 3 ans.
b) Sachant qu'une carte non défectueuse a fonctionné sans tomber panne pendant 2 ans, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore 3 ans ?
c) Déterminer la durée de vie moyenne d'une carte électronique non défectueuse.
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Bonjour iyed, nous allons résoudre ensemble cet exercice de probabilités portant sur la production de cartes électroniques.
Exercice 2 : Probabilités
Commençons par traduire l'énoncé. L'atelier A produit quarante pour cent des cartes. Donc, l'atelier B en produit soixante pour cent.
1) a) Arbre de probabilités
On nous dit que deux pour cent des cartes de A sont défectueuses, et cinq pour cent pour B. Nous pouvons maintenant construire l'arbre pondéré.
Pour la question b, nous cherchons la probabilité que la carte soit défectueuse ET provienne de A. C'est l'intersection.
En remplaçant par les valeurs, on trouve zéro virgule quatre fois zéro virgule zéro deux, ce qui fait zéro virgule zéro zéro huit.
Pour la question c, calculons la probabilité totale de D en additionnant les deux chemins qui mènent à une carte défectueuse.
1) c) Probabilité totale de D
En utilisant l'arbre, cela donne zéro virgule zéro zéro huit plus zéro virgule six fois zéro virgule zéro cinq.
On obtient bien zéro virgule zéro trente-huit, comme demandé.
Dans la question d, on sait que la carte n'est pas défectueuse. Calculons la probabilité qu'elle vienne de A. C'est une probabilité conditionnelle.
1) d) Probabilité conditionnelle
D barre est l'événement contraire de D, donc sa probabilité est un moins zéro virgule zéro trente-huit.
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