Étude d'une fonction rationnelle
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La fonction homographique s'étudie comme les fonctions polynômes :
Exemple :
On donne $h(x) = \frac{2x^2 - 3x - 3}{x - 1}$
1) Déterminer $D_h$
2) Calculer les limites aux bornes de $D$
3) Déterminer les asymptotes si il en existe
4) Montrer que $h(x) = 2x - 1 - \frac{4}{x - 1}$
5) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 1$ est une asymptote oblique à $(C_h)$
6) Déterminer la dérivée $h'$ de $h$
7) Étudier les variations de $h$
8) Dresser le tableau de variation de $h$
9) Construire $(C_h)$ et les asymptotes dans un même repère orthonormé $O, I, J$
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Bonjour Petit, nous allons faire l'étude complète de cette fonction rationnelle. Notre fonction h de x est égale à deux x au carré moins trois x moins trois, le tout divisé par x moins un.
Étude de la fonction h(x)
Commençons par la première question : le domaine de définition. Une fraction existe si son dénominateur n'est pas nul.
1) Domaine de définition D_h
On pose x moins un différent de zéro, ce qui nous donne x différent de un. Le domaine est donc l'ensemble des réels privé de un.
Calculons maintenant les limites aux bornes de l'ensemble de définition, c'est-à-dire en plus et moins l'infini, et autour de un.
2) Limites aux bornes
En moins l'infini, la limite est moins l'infini. En plus l'infini, elle est plus l'infini. Pour la limite en un, le numérateur tend vers moins quatre.
À gauche de un, x moins un est négatif, donc la limite est plus l'infini. À droite, il est positif, donc la limite est moins l'infini.
Pour la troisième question, cherchons les asymptotes. Comme la limite en un est infinie, la droite d'équation x égale un est une asymptote verticale.
3) Asymptotes
Passons à la question quatre. Nous devons montrer une nouvelle écriture de h de x. Pour cela, effectuons la division euclidienne ou repartons de l'expression proposée.
4) Expression alternative
Mettons tout sur le même dénominateur x moins un. On multiplie deux x moins un par x moins un.
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