Étude d'une fonction rationnelle

Bonjour. Dans cet exercice, nous allons faire l'étude complète de la fonction h de x égale deux x au carré moins trois x moins trois, le tout sur x moins un.

Commençons par la première question : déterminer l'ensemble de définition D indice h. Pour qu'une fraction existe, son dénominateur doit être différent de zéro.

Ici, x moins un doit être différent de zéro, ce qui signifie que x doit être différent de un.

L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels privé de un, que l'on note sous forme d'intervalles.

Passons à la question deux : calculons les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Commençons par les limites à l'infini.

En moins l'infini, la limite est moins l'infini. En plus l'infini, la limite est plus l'infini.

Maintenant, étudions la limite en un. Le numérateur tend vers deux moins trois moins trois, soit moins quatre. Le dénominateur tend vers zéro.

Si x tend vers un par la gauche, x moins un est négatif, donc la limite est plus l'infini. Par la droite, le résultat est moins l'infini.

À la question trois, nous en déduisons les asymptotes. Puisque la limite en un est infinie, la droite d'équation x égale un est une asymptote verticale.

Pour la question quatre, on nous demande de montrer une autre forme de h de x. Partons de l'expression proposée et réduisons au même dénominateur.

En développant le numérateur, on obtient deux x au carré, moins deux x, moins x, plus un, moins quatre.