Étude d'un filtre électrique RLC
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Exercice n°1 (7 points)
Le circuit de la figure 2 comporte :
- un générateur de basses fréquences (GBF), délivrant une tension sinusoïdale $u_E(t) = U_{Em} \sin(2\pi Nt)$ de fréquence $N$ réglable et d'amplitude $U_{Em}$ maintenue constante ;
- un conducteur ohmique de résistance $R = 35 \, \Omega$ ;
- un condensateur de capacité $C$ ;
- une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ ;
- un commutateur $K$.
On désigne par $u_S(t)$ la tension du sortie tel que : $u_S(t) = U_{Sm} \sin(2\pi Nt + \varphi_S)$.
Expérience 1
On place le commutateur $K$ sur la position 1. On réalise ainsi un filtre électrique.
1) Etablir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension $u_S(t)$ au cours du temps.
2) La transmittance $T$ de ce filtre s'écrit : $$T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{(2\pi NRC)^2}}}$$
a- Justifier qu'il s'agit d'un filtre électrique.
b- Préciser le comportement de ce filtre pour les faibles et les hautes fréquences.
c- En déduire la nature du filtre.
d- Montrer que sa fréquence de coupure est $N_C = \frac{1}{2\pi RC}$.
3) Pour une fréquence $N_1$ de la fréquence $N$, on visualise simultanément à l'aide d'un oscilloscope numérique, la tension d'entrée $u_E(t)$ et la tension de sortie $u_S(t)$ on obtient les courbes $C_1$ et $C_2$ de la figure 3.
a- Justifier que la courbe $C_1$ correspond à $u_S(t)$.
b- b1- Déterminer la fréquence $N_1$.
This question includes visual content: L'image contient deux figures. La Figure 2 montre un schéma de circuit électrique comprenant un générateur de basses fréquences (GBF) délivrant $u_E(t)$, un commutateur K à deux positions (1 et 2), une bobine d'inductance L et de résistance interne r, un condensateur de capacité C, et un conducteur ohmique de résistance R. La tension de sortie $u_S(t)$ est mesurée aux bornes de R. La Figure 3 montre un graphique d'oscilloscope avec deux courbes sinusoïdales $C_1$ et $C_2$ représentant les tensions en fonction du temps t. L'axe horizontal est en des unités de $10^{-4}$ s avec des graduations à 2,5 et 7,5.
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Bonjour. Dans cet exercice, nous allons étudier un filtre électrique. Commençons par analyser l'expérience un, où le commutateur est en position un.
Étude d'un filtre RC
Dans la première question, nous devons établir l'équation différentielle pour la tension de sortie u indice s. En position un, le circuit est un circuit R C série.
1) Équation différentielle
D'après la loi des mailles, la tension d'entrée u indice e est égale à la somme des tensions du condensateur et de la résistance.
Ici, la tension de sortie u indice s est la tension aux bornes de la résistance R. On a donc u indice s égale R fois i.
Puisque i est la dérivée de la charge q par rapport au temps, et que q égale C fois u indice C, nous pouvons exprimer u indice C en fonction de l'intégrale de u indice s.
En dérivant l'équation de la maille par rapport au temps, nous obtenons l'équation différentielle suivante.
Passons à la question deux sur la transmittance T. Pourquoi s'agit-il d'un filtre électrique ?
2) Étude de la transmittance
C'est un filtre car la transmittance dépend de la fréquence N. Il laisse donc passer certaines fréquences tout en atténuant d'autres.
Analysons maintenant les limites. Pour les faibles fréquences, quand N tend vers zéro, le terme un sur N carré tend vers l'infini, donc T tend vers zéro.
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