Diverjans Teoremi ve Dirac Delta Fonksiyonu

PhysicsElectromagnetic TheoryZorSTEM

Yayınlanma:

Soru

EEM ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİ FİNAL SINAVI

1) $\vec{v} = \hat{r}/r^2$ fonksiyonunu ve merkezi orijinde olan $r$ yarıçaplı küre hacmini kullanarak küresel koordinatlar cinsinden diverjans teoremini doğrulayınız.

**Yol gösterme:** Diverjans Teoremini doğrulamak için Dirac Delta Fonksiyonunu kullanma gereksinimi oluşacaktır. Neden gerektiğini ve kullanarak teoremi doğruladığını göstereceksiniz.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba, bu videoda elektromanyetik dalga teorisinin temel taşlarından biri olan diverjans teoremini verilen bir vektör alanı üzerinden doğrulayacağız.

Diverjans Teoreminin Doğrulanması

2
Adım 2

Bize verilen vektör alanı v eşittir r birim vektör bölü r kare şeklinde tanımlanmış. Diverjans teoreminin genel ifadesini hatırlayarak başlayalım.

$$ \vec{v} = \frac{\hat{r}}{r^2}$$
$$ \oint_S \vec{v} \cdot d\vec{a} = \int_V (\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) d\tau$$
3
Adım 3

Teoremi doğrulamak için hem sol taraftaki yüzey integralini hem de sağ taraftaki hacim integralini hesaplayıp sonuçların aynı olduğunu göstermeliyiz.

4
Adım 4

İlk olarak integralin sol tarafı olan yüzey integralini hesaplayalım. Küresel koordinatlarda yarıçapı büyük r olan bir küre yüzeyi için diferansiyel alan elemanını yazalım.

1. Yüzey İntegrali Hesabı

$$d\vec{a} = r^2 \sin\theta d\theta d\phi \, \hat{r}$$
5
Adım 5

Şimdi vektör alanımızla iç çarpım yapalım. r şapka ile r şapkanın iç çarpımı birdir. Paydadaki r kare ile diferansiyel alandaki r kare birbirini sadeleştirir.

$$\vec{v} \cdot d\vec{a} = \left( \frac{\hat{r}}{r^2} \right) \cdot (r^2 \sin\theta d\theta d\phi \hat{r}) = \sin\theta d\theta d\phi$$
6
Adım 6

Bu ifadeyi tüm küre yüzeyi üzerinden entegre edelim. Theta sıfırdan pi'ye, fi ise sıfırdan iki pi'ye kadar değişir.

$$\oint_S \vec{v} \cdot d\vec{a} = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta d\theta$$
7
Adım 7

Fi integrali iki pi, sinüs teta integrali ise iki sonucunu verir. Çarptığımızda yüzey integralinin değerini dört pi olarak buluruz.

8
Adım 8

Şimdi denklemin sağ tarafına, yani hacim integraline geçelim. Burada diverjansı hesaplamamız gerekiyor. Küresel koordinatlarda diverjans formülünü uygulayalım.

2. Hacim İntegrali ve Dirac Delta

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 v_r)$$

Çözümün devamı Solvi’de

7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Physics
Konu
Electromagnetic Theory
Zorluk
Zor
Sınav
STEM
Soru Tipi
İspat

Benzer Sorular

Katı Basıncını Etkileyen Değişkenler Deneyi Katı Basıncı · Orta Sıvı Basıncı Grafiği Yorumlama Sıvı Basıncı · Orta Metal bilyelerin öz ısısı ve sıcaklık değişimi Isı ve Sıcaklık · Orta Sıvı Basıncının Zamana Göre Değişimi Pressure in Fluids · Orta Palanga Sistemleri ve İş Simple Machines · Orta Gaz Basıncı ve Balon Hacmi Deneyi Gas Laws and Pressure · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir