Daire Dilimleri Alan Toplamı Hesabı

MathematicsGeometric Series and Areas of Circle SectorsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

4. Şekilde, her daire diliminin yarıçapı ve yay uzunluğu bir sonraki daire diliminin yarıçapının ve yay uzunluğunun ikişer katıdır. Bu daire dilimlerinden 6 tane çizildiğinde oluşan tüm daire dilimlerinin alanları toplamı $\frac{2 - 2^a}{b} \cdot d \cdot r$ birimkare olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır? (a, b gerçel sayıdır.) A) -12 B) -10 C) -8 D) -6 E) -4

Soruda görsel içerik var: Bir merkez noktasına bağlı 4 tane mavi renkli daire dilimi yan yana çizilmiştir. En büyük dilimin yay uzunluğu d cm, yarıçapı r cm olarak belirtilmiştir. İkinci dilimin yay uzunluğu d/2, yarıçapı r/2 olarak gösterilmiştir. Dilimler merkez açıda birleşmektedir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Firdevs, bu güzel geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak, soruda verilen daire dilimlerinin yarıçapları ve yay uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

Daire Dilimlerinin Alanları Toplamı

Soruda her bir dilimin yarıçapı ve yay uzunluğunun, bir sonraki dilimin iki katı olduğu belirtilmiştir.

2
Adım 2

En büyük, yani birinci daire diliminin yarıçapı r ve yay uzunluğu d olarak verilmiş. Bu durumda, ardışık her adımda bu değerler yarıya inecektir.

Dilimlerin Boyutları

$$ \begin{aligned} \text{1. Dilim:} \quad R_1 &= r, \quad L_1 = d \\ \text{2. Dilim:} \quad R_2 &= \frac{r}{2}, \quad L_2 = \frac{d}{2} \\ \text{3. Dilim:} \quad R_3 &= \frac{r}{4}, \quad L_3 = \frac{d}{4} \end{aligned}$$
3
Adım 3

Genel olarak n'inci daire dilimi için yarıçapı ve yay uzunluğunu iki tabanında üslü sayılarla ifade edebiliriz.

$$ \begin{aligned} R_n &= \frac{r}{2^{n-1}} \\ L_n &= \frac{d}{2^{n-1}} \end{aligned}$$
4
Adım 4

Bir daire diliminin alan formülünü hatırlayalım. Yarıçapı R ve yay uzunluğu L olan bir daire diliminin alanı, bir bölü iki çarpı R çarpı L formülü ile hesaplanır.

Daire Diliminin Alan Formülü

$$ A = \frac{1}{2} \cdot R \cdot L$$
5
Adım 5

Bu genel formülü n'inci dilim için uygulayalım ve yarıçap ile yay uzunluğu ifadelerini yerine koyalım.

$$ A_n = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{r}{2^{n-1}}\right) \cdot \left(\frac{d}{2^{n-1}}\right)$$
6
Adım 6

Paydadaki terimleri düzenleyelim.

7
Adım 7

Bunu bir bölü iki çarpı d çarpı r, çarpı bir bölü dört üzeri n eksi bir olarak yazalım.

8
Adım 8

Şimdi, bu daire dilimlerinden altı tanesinin alanları toplamını bulmak için n eşittir bir'den altı'ya kadar olan bu alanları toplayalım.

6 Dilimin Alanları Toplamı

$$ S_6 = \sum_{n=1}^{6} A_n = \sum_{n=1}^{6} \frac{1}{2} \cdot d \cdot r \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$
9
Adım 9

Buradaki bir bölü iki çarpı d çarpı r terimi n'den bağımsız olduğu için toplam sembolünün dışına çarpan olarak çıkarılabilir.

10
Adım 10

Parantez içindeki ifade, ortak çarpanı bir bölü dört olan bir geometrik seridir. Geometrik seri toplam formülünü kullanarak bu toplamı hesaplayalım.

$$ \sum_{i=0}^{N-1} q^i = \frac{1 - q^N}{1 - q}$$
11
Adım 11

Bizim durumumuzda ortak çarpan q değeri bir bölü dört ve terim sayısı N eşittir altıdır. Değerleri formülde yerine yazalım.

Geometrik Toplamın Hesaplanması

$$ \sum_{n=1}^{6} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^6}{1 - \frac{1}{4}}$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Geometric Series and Areas of Circle Sectors
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Temel İşlem Sorusu Basic Arithmetic · Kolay Matematiksel İşlem Önceliği Sorusu Order of Operations · Kolay Üslü İfadeler İşlemi Exponents · Orta Üç Ürün ve Taksitli Ödeme Problemi Percentage Problems · Zor Cebirsel İfade Hesaplama Algebraic Expressions · Kolay Üçgende Kenarortay ve Pisagor Geometry · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir