Beşinci Dereceden Polinom İntegrali

Merhaba Zekiye, seninle birlikte bu harika integral sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak soruda verilen bilgileri inceleyelim.

Soruda, başkatsayısı bir olan, gerçel katsayılı ve beşinci dereceden bir f x polinom fonksiyonumuz olduğu belirtilmiş. Bu fonksiyonun sıfırları, yani kökleri sıfır, iki, dört, altı ve sekiz olarak verilmiş.

Başkatsayımız yani a değeri bir olduğuna göre ve köklerimiz sıfır, iki, dört, altı, sekiz olduğuna göre polinomumuzu açıkça yazabiliriz.

Sıfırı sadeleştirerek yazalım: f x eşittir x çarpı x eksi iki çarpı x eksi dört çarpı x eksi altı çarpı x eksi sekiz olur.

Şimdi bizden istenen integrale odaklanalım. Sekizden dokuza f x de x integralinin değerini hesaplamak istiyoruz.

Bu integrali doğrudan çarparak bulmak çok zor olacaktır. Bunun yerine, köklerin simetri merkezi olan dört noktasına göre bir değişken değiştirme uygulayalım.

Değişken değiştirdiğimizde integral sınırlarını da güncellememiz gerekir. x eşittir sekiz için u değerini bulalım.

Benzer şekilde üst sınır olan x eşittir dokuz için de yeni sınırımızı hesaplayalım.

Şimdi f x fonksiyonunu oluşturan her bir terimi u cinsinden ifade edelim. x eşittir u artı dört olduğu için tüm çarpanları yeni değişkenimizle yazıyoruz.

Bu çarpanları birbiriyle eşleştirerek çarpmak işimizi çok kolaylaştıracaktır. u eksi dört ile u artı dört terimlerini çarpalım.

Şimdi de u eksi iki ile u artı iki terimlerini çarparak iki kare farkından faydalanalım.

Bu sonuçları polinom denkleminde yerine koyalım. f x fonksiyonu u çarpı, u kare eksi on altı çarpı, u kare eksi dört haline gelir.

u kareli terimleri birbiriyle çarparak parantezi dağıtalım.

Son olarak en dıştaki u terimini de içeri dağıttığımızda, polinomumuz u üzeri beş eksi yirmi u küp artı altmış dört u olur.