Belirli İntegral ile f(e^2) Değeri Bulma

MathematicsCalculus - IntegralsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

10. $\int_{1}^{e^2} \left( \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \right) dx = 10e^2$ ve $f(1) = 6e^2$ olduğuna göre, $f(e^2)$ kaçtır? A) $16e^6$ B) $16e^4$ C) $e^4$ D) $e^5$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Selin, harika bir AYT matematik sorusuyla karşı karşıyayız. İntegral ve türev arasındaki ilişkiyi kullanarak bu soruyu çözelim.

Belirli İntegral Uygulaması

2
Adım 2

Önce bize verilen integral ifadesine yakından bakalım. İntegralin içindeki ifade size bir şeyin türevini anımsatıyor mu?

$$∫_1^{e^2} \left( \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \right) dx = 10e^2$$
3
Adım 3

İçerideki ifadeyi daha tanıdık bir hale getirmek için payı ve paydayı inceleyelim. Payda x küp var. Hatırlarsanız bölümün türevinde paydanın karesi olurdu.

4
Adım 4

Gelin integrali biraz düzenleyelim. Paydadaki x küp ifadesini, x çarpı x kare şeklinde düşünürsek pay kısmıyla nasıl eşleştiğini görebiliriz.

İntegral İçini Düzenleme

$$\frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^2} ?$$
5
Adım 5

Bu pek işimize yaramadı. Ama şöyle düşünelim: f x bölü x kare ifadesinin türevini alırsak ne olur?

$$\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{x^2} \right] = \frac{f'(x) \cdot x^2 - f(x) \cdot (2x)}{(x^2)^2} = \frac{f'(x) \cdot x^2 - 2x \cdot f(x)}{x^4} ?$$
6
Adım 6

Şimdi bu ifadedeki her terimi x'e bölersek, yani pay ve payydayı x ile sadeleştirirsek tam olarak sorudaki ifadeyi elde ederiz.

7
Adım 7

Harika! İntegral içindeki ifadenin, f x bölü x kare fonksiyonunun türevi olduğunu keşfettik.

8
Adım 8

Şimdi integralimizi bu bilgiyle tekrar yazalım.

İntegrali Çözme

$$∫_1^{e^2} \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{x^2} \right] dx = 10e^2$$
9
Adım 9

Türev ve integral birbirinin tersi olduğu için, integral dışına doğrudan fonksiyonumuz çıkacaktır.

Çözümün devamı Solvi’de

8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Calculus - Integrals
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Integral ve Türev İlişkisi Sorusu Calculus - Integrals · Orta Belirsiz İntegral ve Türev İlişkisi Calculus - Integrals · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir