Asal Çarpan Sayıları ve Faktöriyel Toplamı

Merhaba Mehmet, bu soruda seninle birlikte asal sayılar ve faktöriyel arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz.

Soru bize a, b ve c'nin birer asal sayı olduğunu söylüyor. Ayrıca iki adet oran verilmiş ve bu oranların sonuçlarının sahip olduğu asal çarpan sayıları belirtilmiş.

İlk bilgimize bakalım. a faktöriyel bölü b faktöriyel sayısının tam olarak beş tane asal çarpanı varmış.

Biliyoruz ki faktöriyel oranlarında, örneğin a büyüktür b ise, bu ifade b artı birden a'ya kadar olan sayıların çarpımıdır.

Bu çarpımın içinde 5 tane farklı asal sayı olması gerekiyor. a artı b artı c toplamının en az değerini aradığımız için asal sayıları mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz.

Şimdi ikinci bilgiye geçelim. b faktöriyel bölü c faktöriyel sayısının ise 3 tane asal çarpanı olduğu söylenmiş.

a, b ve c'nin kendileri de asal sayı olduğu için b büyüktür c ve a büyüktür b ilişkisi olmalıdır. Küçükten büyüğe asalları deneyerek başlayalım.

En küçük asal sayımız olan c eşittir 2 olsun.

Eğer c iki ise, b faktöriyel bölü iki faktöriyel ifadesinin üç asal çarpanı olması için b'ye kadar olan asal sayılara bakalım: 3, 5 ve 7.

Yani b sayısının bu üç asalı kapsaması için en az 7 olması gerekir. b kendisi de asal olduğu için b eşittir 7 seçelim.

Şimdi ilk oranı kontrol edelim. a faktöriyel bölü yedi faktöriyel ifadesinde 5 tane asal çarpan olmalı.

Yedi'den sonraki beş asalı sayalım: 11, 13, 17, 19 ve 23.

Bu durumda a sayısının en az 23 olması gerekir. a da bir asal sayı olduğu için a eşittir 23 değerini alabiliriz.

Bulduğumuz bu değerleri toplayarak toplamın sonucuna bakalım.

A artı b artı c eşittir, yirmi üç artı yedi artı iki işlemini yaptığımızda otuz iki sonucuna ulaşıyoruz.

Ancak şıklara baktığımızda 32 yok, daha küçük bir değer bulmalıyız. Demek ki b ve c arasındaki ilişkiyi tekrar düşünmeliyiz.

Unutma ki faktöriyel bölümlerinde bazen arada kalan sayılar asalları değiştirmez. b'den c'ye giderken arada başka asallar da olabilir. Tekrar deneyelim.

Eğer c eşittir 5 seçersek, b orantısında 5'ten büyük olan 7, 11 ve 13 asalları vardır. Dolayısıyla b eşittir 13 olur.

Şimdi a orantısına bakalım. b eşittir 13 ise, 13'ten büyük 5 tane asal sayı: 17, 19, 23, 29 ve 31'dir. Bu toplamı daha da büyütecektir.

Peki ya b ile c çok yakınsa ve bu aralıkta asallar yoksa? Hayır, bu asalların farkı en az bir olmalı. Soru bizden en az toplamı istiyor. Bir ihtimali daha değerlendirelim.

Eğer b ile c arasındaki sayılar sadece 3 asal içeriyorsa, örneğin c eşittir 2 iken b içindeki asallar 3, 5, 7 olabiliyordu.

c üç ise b ye kadar olan asallar: 5, 7 ve 11 olur. Öyleyse b eşittir 11 diyebiliriz.