Analysis von Sinusfunktionen und Flächenberechnung

Wir beginnen mit Teilaufgabe vier Punkt vier. Gegeben ist die Funktion g von x. Zunächst sollen wir deren Extrem- und Wendepunkte bestimmen.

Dafür berechnen wir Schritt für Schritt die ersten drei Ableitungen der Funktion. Die Faktoren bleiben stehen, die Ableitung von Sinus ist Kosinus.

Die zweite Ableitung ergibt eins Komma fünf mal Sinus von x, da die Ableitung von Kosinus wieder minus Sinus ist.

Und folgerichtig lautet die dritte Ableitung eins Komma fünf mal Kosinus von x.

Als notwendige Bedingung für Extremstellen setzen wir die erste Ableitung gleich null.

Der Kosinus wird null bei den ungeraden Vielfachen von Pi halbe. Im vorgegebenen Intervall von minus zwei bis sechs liefert uns das drei mögliche x-Werte.

Wir überprüfen nun unsere gefundenen Stellen mittels der zweiten Ableitung, um die Art der Extrempunkte eindeutig zu klassifizieren.

Setzen wir minus Pi halbe ein, so erhalten wir minus eins Komma fünf. Da dies kleiner als null ist, liegt hier ein Hochpunkt vor.

Mit der Ursprungsfunktion berechnen wir den dazugehörigen y-Wert. Er beträgt minus null Komma fünf. Damit haben wir H eins.

Für Pi halbe liefert die zweite Ableitung plus eins Komma fünf. Da dieser Wert positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Der Funktionswert an dieser Stelle liegt bei minus drei Komma fünf.

Zuletzt betrachten wir drei Pi halbe. Die zweite Ableitung ist wieder negativ, also haben wir einen weiteren Hochpunkt.

Sein y-Wert ist ebenfalls minus null Komma fünf. Wir nennen ihn H zwei.

Gehen wir nun über zu den Wendepunkten. Hierfür muss die zweite Ableitung den Wert null annehmen.

Der Sinus wird null bei ganzen Vielfachen von Pi. Im vorgegebenen Intervall liefert das genau zwei Werte: null und Pi.