Analyse und Transformation von trigonometrischen Funktionen
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Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} x) + 3$, $x \in [0; 6]$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.5 Zeichnen Sie $K_g$.
Das Schaubild $K_g$ soll so in y-Richtung gestreckt werden, dass die Hochpunkte den y-Wert 7,5 haben. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die gestreckte Kurve an. (5 Punkte)
4.6 $K_f$ und $K_g$ schneiden sich an den Stellen $x = 1$ und $x = 3$.
Berechnen Sie den Inhalt der zwischen $K_f$ und $K_g$ eingeschlossenen Fläche. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt Textaufgaben in deutscher Sprache. Am oberen rechten Rand ist ein kleiner Teil eines Koordinatensystems mit einer Gitterstruktur und Zahlenmarkierungen auf der x-Achse (0, 1, 2, 3) erkennbar. Der Text bezieht sich auf eine Funktion g(x) und deren Graphen K_g.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Analysis-Aufgabe. Wir haben die Funktion g von x gleich zwei mal Kosinus von pi halbe x plus drei gegeben und sollen zwei Teilaufgaben lösen.
Gegebene Funktion
Intervall: $x \in [0; 6]$
In Aufgabenteil vier punkt fünf suchen wir einen Funktionsterm für eine gestreckte Kurve, deren Hochpunkte den y-Wert sieben komma fünf haben.
4.5 Streckung in y-Richtung
Bestimmen wir zunächst den ursprünglichen Hochpunkt von g. Der Kosinus schwankt zwischen minus eins und eins. Der maximale Wert von g tritt auf, wenn der Kosinus eins ist.
Der aktuelle Hochpunkt liegt also bei y gleich fünf. Wir wollen ihn durch eine Streckung in y-Richtung auf sieben komma fünf bringen.
Eine Streckung in y-Richtung erfolgt durch Multiplikation des gesamten Terms mit einem Faktor k. Der neue Term lautet also h von x gleich k mal g von x.
Wir setzen den gewünschten Wert sieben komma fünf für h von x und den bekannten Maximalwert fünf für g von x ein, um k zu berechnen.
Teilen wir durch fünf. Sieben komma fünf geteilt durch fünf ergibt eins komma fünf.
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