Analyse einer Sinusfunktion: Nullstellen, Flächeninhalt und Gleichungen
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 2\sin(\pi x) + 2$, $x \in [-1; 2]$ und ihr Schaubild $K_f$.
3.5 Geben Sie die Nullstellen von $f$ an.
$K_f$ schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.
(6 Punkte)
3.6 Betrachtet wird die Gleichung
$$2\sin(\pi x) + 2 = 1.$$
Formulieren Sie zum Schaubild $K_f$ eine Aufgabenstellung, zu deren Beantwortung diese Gleichung gelöst werden müsste.
Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_f$ einer periodischen Funktion im Intervall $x \in [-1, 2]$. Die y-Achse ist von 0 bis 4 skaliert, die x-Achse markiert die Werte -1, 0, 1 und 2. Der Graph beginnt bei $(-1, 2)$, fällt zu einem lokalen Minimum auf der x-Achse bei $x = -0,5$ ab, steigt durch den Punkt $(0, 2)$ zu einem lokalen Maximum bei $(0,5, 4)$ auf, fällt wieder zur x-Achse bei $x = 1,5$ ab und endet bei $(2, 2)$. Das Gitter im Hintergrund hilft bei der Orientierung der Punkte.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir schauen uns eine Aufgabe zur Sinusfunktion an. Gegeben ist f von x gleich zwei mal sinus von pi x plus zwei im Intervall von minus eins bis zwei. Zuerst bestimmen wir die Nullstellen und die eingeschlossene Fläche.
Analysis der Funktion $f(x)$
Für die Nullstellen setzen wir den Funktionsterm gleich null.
Zuerst subtrahieren wir zwei und teilen dann durch zwei.
Der Sinus ist genau dann minus eins, wenn das Argument gleich drei halbe pi plus zwei k pi ist. Da unser Intervall von minus eins bis zwei geht, betrachten wir pi x gleich minus pi halbe und drei pi halbe.
Und für den zweiten Wert erhalten wir x gleich eins komma fünf.
Nun berechnen wir den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Da die Funktion im Intervall stets größer oder gleich null ist, entspricht die Fläche dem Integral von minus eins bis zwei.
Flächenberechnung
Wir bilden die Stammfunktion. Der Sinus wird zu minus Cosinus, und wegen der inneren Ableitung pi müssen wir durch pi teilen.
Jetzt setzen wir die Grenzen ein. Obere Grenze zwei minus untere Grenze minus eins.
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