Analyse d'un circuit RLC en régime sinusoïdal
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Exercice 1
On considère le circuit électrique comportant en série :
- Un générateur basse fréquence maintenant entre ses bornes une tension sinusoïdale $u(t) = U\sqrt{2} \sin(2\pi Nt)$ avec $u$ en volt et $t$ en seconde de valeur efficace $U$ supposée constante et de fréquence réglable.
- Un condensateur de capacité $C = 50 \mu F$.
- Une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$.
- Un ampèremètre (A) de résistance négligeable.
Dans une première expérience on règle la fréquence $N$ du GBF a une valeur $N_1$ et à l'aide d'un oscilloscope numérique on visualise les tensions $u(t)$ aux bornes du générateur et $u_C(t)$ aux bornes du condensateur respectivement sur les voies $(CH_1)$ et $(CH_2)$.
1) Identifier, parmi les montages électriques (a) et (b) (feuille annexe), celui qui permet de visualiser simultanément $u(t)$ et $u_C(t)$ sur l'écran de l'oscilloscope, puis y ajouter les connexions nécessaires.
2) Les oscillogrammes obtenus sur l'oscilloscope sont représentés sur la figure 2 (les sensibilités verticales sont différentes)
a) Montrer que la courbe $(C_1)$ correspond à $u(t)$.
b) Déterminer le déphasage $(\phi_{uC} - \phi_u)$ entre les tensions $u(t)$ et $u_C(t)$.
c) En déduire le caractère du circuit.
3) Pour la valeur $N_1$ de la fréquence $N$ tel que $N_1 = \frac{N_0}{\sqrt{3}}$, l'ampèremètre indique $0,2 A$.
a) Etablir l'équation différentielle relative à l'intensité $i(t)$.
b) Montrer que $U_L = \frac{U_C}{3}$, $U_C$ et $U_L$ sont les valeurs efficaces des tensions $u_C(t)$ et $u_L(t)$.
c) Compléter le diagramme de Fresnel figure 3, page annexe, relatives aux tensions efficaces à l'échelle : $1cm - 2V$.
d) En déduire la valeur de la fréquence $N_1$, la valeur efficace $U$ de la tension $u(t)$ et l'inductance $L$ de la bobine.
e) Sachant que $R = 3r$, déterminer $r$.
This question includes visual content: The image contains a graph labeled 'Figure 2' representing an oscillogram of two sinusoidal waves: Courbe $C_1$ and Courbe $C_2$. The vertical axis represents tensions (in V) and the horizontal axis represents time $t$ (in ms). Courbe $C_1$ has a larger amplitude than Courbe $C_2$ and leads $C_2$ in phase. The background is a grid of dotted lines. There is a box with '0' marking the origin of the vertical axis.
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Step by Step Written Solution
Bonjour ! Aujourd'hui, nous allons étudier un circuit RLC série et analyser ses tensions à l'aide d'oscillogrammes, puis de calculs analytiques.
Exercice : Circuit RLC Série
Commençons par la question 2a. On nous demande d'identifier laquelle des deux courbes correspond à la tension d'alimentation, notée u de t.
2.a) Identification de la courbe u(t)
L'expression de cette tension indique qu'il s'agit d'une fonction sinus sans déphasage initial.
Cela signifie qu'à l'instant initial t égal à zéro, la tension u est nulle et sa dérivée est positive : la courbe doit donc partir de l'origine en montant.
En observant la figure 2, nous voyons clairement que seule la courbe C 1 passe par l'origine avec une pente positive.
Passons à la question 2b, qui porte sur la détermination graphique du déphasage entre la tension u et la tension aux bornes du condensateur, u indice c.
2.b) Déphasage $(\varphi_{u_C} - \varphi_u)$
Premièrement, évaluons la période T sur le graphique. On remarque qu'entre les traits pointillés espacés, il y a exactement 5 petites subdivisions.
La courbe C 1 effectue un cycle complet sur 4 intervalles en pointillés, ce qui nous donne une période totale de 4 fois 5, soit 20 petites subdivisions.
Ensuite, observons la courbe C 2, qui correspond à la tension condensateur. Elle est décalée vers la droite.
Son passage par zéro en montant s'effectue exactement au milieu du premier intervalle, soit à 2,5 subdivisions après l'origine. C 2 est donc en retard sur C 1.
Nous pouvons maintenant calculer la valeur absolue du déphasage grâce à la formule deux pi divisé par T, multiplié par le décalage temporel delta t.
En simplifiant le rapport 2,5 sur 20, soit un huitième, on obtient pi sur quatre radians.
Puisque la courbe C 2 est décalée vers la droite, la tension u c est en retard par rapport à u. Son déphase relatif est donc négatif.
Trions les informations à la question 2c pour en déduire la nature globale du circuit.
2.c) Caractère du circuit
Rappelons une propriété fondamentale du condensateur : la tension à ses bornes est toujours en retard de phase de pi sur 2 par rapport à l'intensité du courant i.
Or, nous venons juste d'établir que la différence de phase entre u c et u vaut moins pi sur quatre.
Substituons notre première équation dans la seconde pour faire apparaître la phase de l'intensité.
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