Zuordnung von Funktionsgraphen: g, g' und G
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3.6 Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion $g$, ihrer Ableitungsfunktion $g'$ und einer Stammfunktion $G$ von $g$.
[Images A, B, C]
Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begr nden Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fl che, die das Schaubild C auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschlie t. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: The image shows three coordinate systems labeled A, B, and C with mathematical function plots. Graph A: A function that appears to be an odd-degree polynomial or a transformed trigonometric function, passing through (0,0) with negative slope, having local extrema. Graph B: A periodic oscillating function resembling a sine/cosine wave with an amplitude of approximately 3. Graph C: Another periodic oscillating function, resembling a sine/cosine wave shifted downwards, with an amplitude of approximately 1.5, reaching its local maximum at x ≈ -2 and x ≈ 2, and its local minimum at x = 0 with y ≈ -3. All graphs have a grid with x and y axes marked from roughly -4 to 4.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Schaubilder A, B und C den Funktionen g, g-strich und der Stammfunktion G zuordnen. Danach berechnen wir einen Flächeninhalt.
Zuordnung von g, g' und G
Erinnern wir uns an den Zusammenhang: Die Ableitung gibt die Steigung der Integralfunktion an. Das bedeutet, dort wo eine Funktion ein Extremum hat, muss ihre Ableitung eine Nullstelle haben.
Schauen wir uns Schaubild A an. Es hat Extrema bei ungefähr minus zwei einhalb, minus eins, eins und so weiter. An diesen Stellen müsste die Ableitungsfunktion Nullstellen haben.
Betrachte Extrema von A
Vergleichen wir das mit Schaubild B. Wir sehen, dass Schaubild B genau dort Nullstellen hat, wo A lokale Hoch- oder Tiefpunkte hat. Also ist B die Ableitung von A.
Wenden wir das gleiche Prinzip auf B und C an. B hat Extrema bei x gleich minus drei, minus eins, eins und drei. Schaubild C hat genau an diesen Stellen Nullstellen.
Betrachte B und C...
Somit ist C die Ableitung von B. Wir haben also die Kette: A wird abgeleitet zu B, und B wird abgeleitet zu C.
Daraus folgt die Zuordnung: G ist Schaubild A, g ist Schaubild B und g-strich ist Schaubild C.
Im zweiten Teil sollen wir den Flächeninhalt bestimmen, den Schaubild C auf dem Intervall von minus zwei bis zwei mit der Geraden y gleich eins einschließt.
Berechnung des Flächeninhalts
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