Türevi Verilen Fonksiyonun Kökünün İncelenmesi
Yayınlanma:
23. Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği aşağıda gösterilmiştir.
[Görsel]
$[0, 4]$ aralığında sadece bir kökü olan $f$ fonksiyonu $f(0) = f'(0)$ ve $f(4) = f'(4)$ eşitliklerini sağlamaktadır. Buna göre $f$ fonksiyonunun $[0, 4]$ aralığındaki kökü
I. $(1, 2)$
II. $(2, 3)$
III. $(3, 4)$
aralıklarından hangilerinde olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, x eksenini 1 ve 3 noktalarında kesen, 0 ile 1 arasında negatif, 1 ile 3 arasında pozitif, 3'ten sonra tekrar pozitif değerler alan bir $f'(x)$ fonksiyon grafiği görülmektedir. Grafiğin tepe noktası 1 ile 2 arasındadır. X ve Y eksenleri üzerinde 0, 1, 2, 3, 4 değerleri işaretlenmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Tahir, seninle birlikte harika bir türev ve fonksiyon yorumlama sorusu çözelim. Öncelikle soruda bize ne verilmiş ve ne isteniyor, bir bakalım.
Türev ve Fonksiyon Grafiği Analizi
İlk olarak türev fonksiyonumuz olan f üssü x'in grafiğini ve işaretlerini inceleyelim. Grafikte x eşittir bir, iki ve üç noktalarında f üssünün sıfır olduğunu görüyoruz.
f'(x) Grafiği ve İşaretleri
f üssü x'in işaret tablosunu oluşturarak f fonksiyonunun hangi aralıklarda artan veya azalan olduğunu belirleyelim.
| Aralık | $[0, 1)$ | $(1, 2)$ | $(2, 3)$ | $(3, 4]$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $- (Negatif)$ | $+ (Pozitif)$ | $- (Negatif)$ | $+ (Pozitif)$ |
| $f(x)$ | $\searrow$ Azalan | $ | ||
| earrow$ Artan | $\blank$ | $\nearrow$ Artan |
İki ve üç aralığında türev negatif olduğundan, f fonksiyonu bu aralıkta azalandır. Tablomuzu bu şekilde tamamlamış olduk.
Şimdi bize verilen f sıfır eşittir f üssü sıfır ve f dört eşittir f üssü dört eşitliklerini kullanalım.
Sınır Değerlerinin Analizi
Grafikten f üssü sıfırın negatif olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla f sıfır da negatiftir. Benzer şekilde, x eşittir üçten büyük değerler için f üssü pozitif olduğundan, f üssü dört de pozitiftir, yani f dört pozitiftir.
Şimdi f fonksiyonunun sıfır dört aralığındaki hareketini adım adım inceleyelim. İlk olarak sıfır bir aralığına bakalım.
Adım Adım f(x) Davranışı
1. Bölge: $[0, 1]$ aralığı
f fonksiyonu sıfır bir aralığında azalandır. f sıfır zaten negatif olduğu için, fonksiyon daha da azalarak f bir yerel minimum değerine ulaşır. Bu yüzden f bir de negatiftir ve bu aralıkta kök yoktur.
f fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin işaretlerine göre olası durumları inceleyelim. Unutmayalım, fonksiyonun bu aralıkta sadece bir kökü vardır.
Olası Durumların İncelenmesi
f(1) < 0 ve f(4) > 0 olduğunu biliyoruz. Yerel maksimum f(2) ve yerel minimum f(3) değerlerinin işaretlerine bakalım.
Birinci durum olarak, f iki ve f üç değerlerinin her ikisinin de negatif olduğunu varsayalım.
Durum 1: $f(2) < 0$ ve $f(3) < 0$
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
